BZOJ4829: [Hnoi2017]队长快跑

BZOJ4829: [Hnoi2017]队长快跑

Description

众所周知，在P国外不远处盘踞着巨龙大Y。

传说中，在远古时代，巨龙大Y将P国的镇国之宝窃走并藏在了其巢穴中，这吸引着整个P国的所有冒险家前去夺回，尤其是皇家卫士队的队长小W。

在P国量子科技实验室的帮助下，队长小W通过量子传输进入了巨龙大Y的藏宝室，并成功夺回了镇国之宝。

但此时巨龙布下的攻击性防壁启动，将小W困在了美杜莎的迷宫当中。

被困在迷宫(0,0)处的队长小W快速观察了美杜莎的迷宫的构造，发现迷宫的出口位于(p,q)处。

巨龙大Y在迷宫当中布置了n火焰吐息机关，每个机关可以用三个参数(x,y,θ)表示，分别指明机关位于平面的坐标(x,y)，以及火焰吐息的方向相对于x正方向的倾角θ。

巨龙强大的力量使得火焰吐息有无穷长，且队长小W不能通过被火焰吐息覆盖的射线（注意，机关所处的坐标若没有被其他火焰吐息覆盖，则是可以通过的）。

同时，迷宫在沿x负方向无穷远的地方放置了美杜莎之眼，使得队长小W必须倾向于向x正方向行动（即队长小W的移动方向在x正方向上的投影必须为正，不能是负数或零），否则队长小W将被瞬间石化而无法逃离。

心急如焚的队长小W需要趁着巨龙大Y还没将其抓住前逃离美杜莎的迷宫，所以他立马向P国智囊团求助，作为智囊团团长的你，一定可以帮队长小W找出安全逃至迷宫出口的最短道路。

Input

第一行为三个整数n,p,q,分别表示火焰吐息机关总数以及出口坐标。

接下来n行，每行两个整数与一个实数(x,y,θ)分别表示机关所处的坐标以及火焰吐息的关于x正方向的倾角。

Output

输出文件仅包含一行一个小数，表示最短道路的长度。

当你的答案和标准答案的相对误差不超过10^-8时（即|a-o|/a≤10-8时，其中a是标准答案，o是输出）认为你的答案正确。

Sample Input

7 20 -5
4 3 -2.875
5 7 -1.314
10 -2 0.666
16 1 -1.571
16 1 1.571
23 -3 -2.130
14 -5 3.073

Sample Output

33.3380422500

题解Here!

我们可以把射线的方向规约成两类，相对于s,t分成向上与向下的两种。

不难发现，改变射线的方向后，原有的限制条件并未被改变。

要判断一条线是否规约为“垂直向下”，只需判断它的关于P的极角是否在S和T关于P的极角之间。

问题可以转化为多边形两点间最短距离，有经典算法可以解决，但是目前oi界应该不会涉及到吧。

有一个做法可以通过本题的数据，下面介绍它的具体实现。

将所有射线按端点的横坐标排序，依次计算每个端点到S的最短路径上，距离它最近的点nxt。

维护两个队列q1和q2，分别对应上和下两种方向的端点。

初始时在q1和q2中都放入起点坐标。

每次考虑到一个点P（不妨设它是向上的射线），首先看q2的队首到P的连线是否被队列中后一个元素挡住，如果是，则nxt在q2中；否则nxt在q1中。

若nxt在q2中，则不断判断队首是否被后一个挡住，只要被挡住，就向后移动队首的指针，nxt就是最终的队首。

接着，清空q1，并将nxt放入q1中。

若nxt在q1中，则不断判断q1中倒数第二个是否被队尾挡住，只要没被挡住，就向前移动队尾的指针，nxt就是最终的队尾。

最后，无论nxt在哪里，都在q1的末尾加入P。

至于这种做法的正确性，我想了很久都没有想清楚，但也找不到反例说明它是错误的。

所以，也就这样吧。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 1000010
using namespace std;
const double PI=acos(-1);
int n,top=0,head[2],tail[2];
struct Point{
	long long x,y;
	Point *next;
	int direction;
	Point operator +(const Point &p)const{return (Point){x+p.x,y+p.y};}
	Point operator -(const Point &p)const{return (Point){x-p.x,y-p.y};}
	long long operator *(const Point &p)const{return x*p.y-y*p.x;}
	bool operator !=(const Point &p)const{return (x!=p.x||y!=p.y);}
	bool operator <(const Point &p)const{return x<p.x;}
	double dis()const{return sqrt(x*x+y*y);}
}s,t,a[MAXN],b[MAXN],*que[2][MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline bool NotInRange(double div,double x,double y){
	if(div>=-PI/2.0&&div<=PI/2.0)return ((x<div||x>PI/2.0)&&(y<div||y>PI/2.0));
	else if(div<0)return (x>div&&x<PI/2.0&&y>div&&y<PI/2.0);
	else return ((x>div||x<PI/2.0)&&(y>div||y<PI/2.0));
}
void work(){
	double ans=0;
	head[0]=tail[0]=head[1]=tail[1]=1;
	que[0][1]=que[1][1]=&s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=a[i].direction,y=x^1;
		if(head[y]<tail[y]&&((a[i]-*que[y][head[y]])*(*que[y][head[y]+1]-*que[y][head[y]]))*(x==1?1:-1)>=0){
			while(head[y]<tail[y]&&((a[i]-*que[y][head[y]])*(*que[y][head[y]+1]-*que[y][head[y]]))*(x==1?1:-1)>=0)head[y]++;
			a[i].next=que[y][head[y]];
			head[x]=tail[x]=tail[x]+1;
			que[x][head[x]]=que[y][head[y]];
		}else{
			while(head[x]<tail[x]&&((a[i]-*que[x][tail[x]-1])*(*que[x][tail[x]]-*que[x][tail[x]-1]))*(x==1?1:-1)>=0)tail[x]--;
			a[i].next=que[x][tail[x]];
		}
		que[x][++tail[x]]=&a[i];
	}
	for(Point *now=&a[n],*last;*now!=s;){
		last=now;now=now->next;
		ans+=(*now-*last).dis();
	}
	printf("%.10lf\n",ans);
}
void init(){
	double u,v,w;
	n=read();t.x=read();t.y=read();
	s.x=s.y=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i].x=read();a[i].y=read();
		scanf("%lf",&w);
		u=atan2(s.y-a[i].y,s.x-a[i].x);
		v=atan2(t.y-a[i].y,t.x-a[i].x);
		if(NotInRange(w,u,v))a[i].direction=1;
		else a[i].direction=0;
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i].x<s.x||a[i].x>t.x)continue;
		a[++top]=a[i];
	}
	a[++top]=t;
	n=top;
}
int main(){
	init();
	work();
	return 0;
}