【BZOJ5296】【CQOI2018】破解D-H协议（BSGS）

题面

Description

Diffie-Hellman密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥（密码）的情况下

通过不安全的信道（可能被窃听）建立一个安全的密钥K，用于加密之后的通讯内容。

假定通讯双方名为Alice和Bob，协议的工作过程描述如下（其中mod表示取模运算）：

1．协议规定一个固定的质数P，以及模P的一个原根g。P和g的数值都是公开的，无需保密。

2．Alice生成一个随机数a，并计算A=g^a mod P，将A通过不安全信道发送给Bob。

3．Bob生成一个随机数b，并计算B=g^b mod P，将B通过不安全信道发送给Alice。

4．Bob根据收到的A计算出K=A^b mod P，而Alice根据收到的B计算出K=B^a mod P。

5．双方得到了相同的K，即g^(a*b) mod P。K可以用于之后通讯的加密密钥。

可见，这个过程中可能被窃听的只有A、B，而a、b、K是保密的。并且根据A、B、P、g这4个数，不能轻易计算出

K，因此K可以作为一个安全的密钥。

当然安全是相对的，该协议的安全性取决于数值的大小，通常a、b、P都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如

果Alice和Bob编程时偷懒，为了避免实现大数运算，选择的数值都小于2^31，那么破解他们的密钥就比较容易了。

Input

输入文件第一行包含两个空格分开的正整数g和P。

第二行为一个正整数n，表示Alice和Bob共进行了n次连接（即运行了n次协议）。

接下来n行，每行包含两个空格分开的正整数A和B，表示某次连接中，被窃听的A、B数值。

2≤A，B<P<231，2≤g<20， n<=20

Output

输出包含n行，每行1个正整数K，为每次连接你破解得到的密钥。

Sample Input

3 31

27 16

21 3

9 26

Sample Output

题解

$BSGS$模板题啊。。。

显然只要求出$a,b$就行了。。

然后就是给定了$g,P$

求$g^a=A(mod\ P)$就行了。。

最后乘起来。。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define ll long long

#define RG register

inline int read()

{

    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();

    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*t;

}

const int HashMod=111111;

struct HashTable

{

	struct Line{int v,next,u;}e[1000000];

	int h[HashMod],cnt;

	void Add(int u,int v,int w){e[++cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt;}

	void insert(int x,int y){Add(x%HashMod,y,x);}

	int Query(int x)

	{

		for(int i=h[x%HashMod];i;i=e[i].next)

			if(e[i].u==x)return e[i].v;

		return -1;

	}

	void clear(){memset(h,0,sizeof(h));cnt=0;}

}Hash;

int G,MOD,n,m,Q;

int fpow(int a,int b)

{

	int s=1;

	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}

	return s;

}

int BSGS(int y,int z,int p)

{

	Hash.clear();

	for(int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.insert(t,i);

	for(int i=1,tt=fpow(y,m),t=tt;i<=m;++i,t=1ll*t*tt%p)

	{

		int h=Hash.Query(t);if(h==-1)continue;

		return i*m-h;

	}

	return -1;

}

int main()

{

	G=read();MOD=read();m=sqrt(MOD)+1;Q=read();

	while(Q--)

	{

		int A=read(),B=read();

		printf("%d\n",fpow(G,1ll*BSGS(G,A,MOD)*BSGS(G,B,MOD)%(MOD-1)));

	}

	return 0;

}