[LouguT30212]玩游戏

题面在这里

description

对于\(k=1,2,...,t\)，求$$\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}{m}(a_i+b_j)^k$$

对\(998244353\)取模。

data range

\[1\le n,m,k\le 10^5,0\le a_i,b_i\le 998244352
\]

solution

由于要求多项式

\[\begin{aligned}
Ans(x)&=\sum_{k=1}^{t}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(a_i+b_j)^kx^k\\
&=\sum_{k=1}^{t}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{s=1}^{k}\binom{k}{s}a_i^sb_j^{k-s}x^k\\
&=\sum_{k=1}^{t}k!\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{s=1}^{k}\frac{a_i^s}{s!}\frac{b_j^{k-s}}{(k-s)!}x^k\\
&=\sum_{k=1}^{t}k!\sum_{s=1}^{k}(\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i^s}{s!})(\sum_{j=1}^{m}\frac{b_j^{k-s}}{(k-s)!})x^k\\
&=\sum_{k=1}^{t}k!\sum_{s=1}^{k}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^s}{s!}\frac{\sum_{j=1}^{m}b_j^{k-s}}{(k-s)!}x^k\\
\end{aligned}\]

我们记

\[f_k(x)=\sum_{s=1}^{k}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^s}{s!}\frac{\sum_{j=1}^{m}b_j^{k-s}}{(k-s)!}x^s
\]

则$$Ans(x)=\sum_{k=1}^{t}f_k(1)xk$$

即其系数的前缀和

于是现在我们要求出$$g_a(x)=\sum_{i=1}^{{t}\sum_{j=1}}{n}a_j^ixi$$

构造函数\(h(x)=\prod_{i=1}^{n}(a_ix+1)\)，因为

\[ln[h(x)]=\sum_{i=1}^{n}ln(a_ix+1)
\]

而

\[ln'(a_ix+1)=\frac{a_i}{a_ix+1}=\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^ja_i^{j+1}x^j
\]

对上面这个式子求积分，我们有

\[ln(a_ix+1)=\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j-1}\frac{a_i^j}{j}x^j
\]

于是我们有

\[\begin{aligned}
ln[h(x)]&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j-1}\frac{a_i^j}{j}x^j\\
&=\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j-1}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^j}{j}x^j\\
\end{aligned}\]

\(h(x)\)我们可以使用分治\(FFT\)在\(O(nlog^2n)\)的时间内求出；

\(ln[h(x)]\)可以使用多项式求\(ln\)在\(O(nlogn)\)的时间内求出，

系数稍加处理即可得到\(g_a(x)\)和\(g_b(x)\)；

最后将\(g_a(x)\)和\(g_b(x)\)做一遍\(NTT\)即可得到\(f(x)\)。

总时间复杂度为\(O(nlog^2n)\)

常数巨大

调试\(3+day\)后终于过了第二个样例

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int N=400010;
const int mod=998244353;
const dd pi=acos(-1);
il int read(){
	RG int d=0,w=0;char ch=getchar();
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')d=(d<<3)+(d<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return w?-d:d;
}

il int poww(int a,int b){
	RG int ret=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
		if(b&1)ret=1ll*ret*a%mod;
	return ret;
}

int r[N];
il void NTT(int *a,int n,int opt){
	for(RG int i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
	for(RG int i=2;i<=n;i<<=1){
		RG int wn=poww((opt==1)?3:((mod+1)/3),(mod-1)/i);
		for(RG int j=0;j<n;j+=i){
			RG int w=1;
			for(RG int k=j;k<j+(i>>1);k++,w=1ll*w*wn%mod){
				RG int x=1ll*a[k+(i>>1)]*w%mod;
				a[k+(i>>1)]=(a[k]-x+mod)%mod;
				a[k]=(a[k]+x)%mod;
			}
		}
	}
	if(opt==-1)
		for(RG int i=0,rev=poww(n,mod-2);i<n;i++)
			a[i]=1ll*a[i]*rev%mod;
}

int inv[N];
il void initinv(int n){
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(RG int i=2;i<n;i++)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}

int x[N],y[N];

#define M ((L+R)>>1)
void solve(int *a,int L,int R){//分治FFT
	if(L==R)return;solve(a,L,M);solve(a,M+1,R);
	RG int n=M-L+1,m=R-M,len=1,l=0;
	for(;len<=(n+m);len<<=1,l++);
	for(RG int i=0;i<len;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));

	for(RG int i=0;i<len;i++)x[i]=y[i]=0;x[0]=y[0]=1;
	for(RG int i=1;i<=n;i++)x[i]=a[L+i-1];
	for(RG int i=1;i<=m;i++)y[i]=a[M+i];

	NTT(x,len,1);NTT(y,len,1);
	for(RG int i=0;i<len;i++)x[i]=1ll*x[i]*y[i]%mod;
	NTT(x,len,-1);

	for(RG int i=1;i<=n+m;i++)a[L+i-1]=x[i];
}

il void getdao(int *a,int *x,int n){//多项式求导
	for(RG int i=0;i<n;i++)x[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;x[n-1]=0;
}
il void getjifen(int *a,int *x,int n){//多项式求积分
	for(RG int i=n-1;i;i--)x[i]=1ll*a[i-1]*inv[i]%mod;x[0]=0;
}

int xi[N],yi[N];
void getinv(int *f,int *g,int n,int l){//多项式求逆
	if(n==1){g[0]=poww(f[0],mod-2);return;}getinv(f,g,n>>1,l-1);
	for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
	for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)xi[i]=yi[i]=0;

	for(RG int i=0;i<n;i++)xi[i]=f[i];
	for(RG int i=0;i<(n>>1);i++)yi[i]=g[i];

	NTT(xi,n<<1,1);NTT(yi,n<<1,1);
	for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)
		xi[i]=1ll*(2-1ll*xi[i]*yi[i]%mod+mod)%mod*yi[i]%mod;
	NTT(xi,n<<1,-1);
	for(RG int i=0;i<n;i++)g[i]=xi[i];
}

void getln(int *a,int *f,int n,int l){//多项式求ln
	memset(x,0,sizeof(x));memset(y,0,sizeof(y));
	getdao(a,x,n);getinv(a,y,n,l);
	for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
	NTT(x,n<<1,1);NTT(y,n<<1,1);
	for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)x[i]=1ll*x[i]*y[i]%mod;
	NTT(x,n<<1,-1);
	getjifen(x,f,n);
}

int n,m,t,a[N],b[N],f[N],g[N],l,rv;
int main()
{
	n=read();m=read();rv=1ll*poww(n,mod-2)*poww(m,mod-2)%mod;
	for(RG int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	for(RG int i=1;i<=m;i++)b[i]=read();
	solve(a,1,n);solve(b,1,m);//分治FFT得到h(x);

	t=read();a[0]=b[0]=1;
	for(l=0;(1<<l)<=t;l++);initinv(1<<l);
	getln(a,f,(1<<l),l);getln(b,g,(1<<l),l);

	for(RG int i=1;i<=t;i++){
		f[i]=(i&1)?(1ll*f[i]*i%mod):((mod-1ll*f[i]*i%mod)%mod);
		g[i]=(i&1)?(1ll*g[i]*i%mod):((mod-1ll*g[i]*i%mod)%mod);
	}
	//多项式求ln得到ga(x)和gb(x);

	for(RG int i=1;i<=t;i++){
		inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
		f[i]=1ll*f[i]*inv[i]%mod;
		g[i]=1ll*g[i]*inv[i]%mod;
	}

	f[0]=n;g[0]=m;m=n=t;
	for(m+=n,n=1,l=0;n<=m;l++,n<<=1);
	for(RG int i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	NTT(f,n,1);NTT(g,n,1);
	for(RG int i=0;i<n;i++)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;
	NTT(f,n,-1);

	for(RG int i=1,fac=1;i<=t;i++,fac=1ll*fac*i%mod){
		f[i]=1ll*f[i]*fac%mod;
		printf("%lld\n",1ll*f[i]*rv%mod);
	}
	return 0;
}