跳表 SkipList

跳表是平衡树的一种替代的数据结构，和红黑树不同，跳表对树的平衡的实现是基于一种随机化的算法，这样就使得跳表的插入和删除的工作比较简单。 
    跳表是一种复杂的链表，在简单链表的节点信息之上又增加了额外的后继节点指针。这样，单链表每次只能向后移动一个节点，而跳表每个节点有多个后继节点，就可以移动多个不同的距离，加快了查找的速度。

跳表的数据存储结构

定义：如果一个节点存在k个向前的指针的话，则该节点为k层的节点。一个跳表的层MaxLevel为跳表中所有节点层数的最大值。 
下图为一个完整的跳表： 
 
可以设计跳表节点的数据结构：

struct SkipNode{
	int key;			//跳表节点的key
	int value;			//跳表节点的val，可以是其他类型
	int level;			//跳表节点的level，实际的节点level从0 开始，计到level
	SkipNode** forward; //跳表节点的后继

	SkipNode(int lvl){	//跳表节点的level，则它的level计数从0计到level
		level = lvl;
		forward = new SkipNode*[level + 1];
	}
	~SkipNode(){
		delete[] forward;
	}
};

跳表的实现

1. 初始化

初始化的过程就是生成下图中红色区域内的部分，也就是跳表的基本结构： 

2. 查找操作

跳表的查找依赖于节点的forward数组，跳表的每个节点都有一个后继节点数组forward， 里面存放着该节点向后的多个层次的后继。后继节点层次越高，则距离当前节点越远。这样在进行查找的时候，先看高层次的后继节点，如果后继节点的key小于要找的key，则沿着当前层次的后继节点链继续走，直到后继节点的key大于等于要查找的key；然后层次减去一继续进行搜索操作，直到层次变为0.

3. 插入操作

插入的时候，先根据key值利用查找操作的方法找到应该被插入的位置，然后修改forward指针，并更新跳表的level变量。 

4. 删除操作

删除的时候，先根据key值找到节点的位置，然后更改forward指针，并更新跳表的level变量。 

实现(c++)

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX_LEVEL 20
#define INVALID_VALUE 1 << 30
struct SkipNode{
	int key;			//跳表节点的key
	int value;			//跳表节点的val，可以是其他类型
	int level;			//跳表节点的level，实际的节点level从0 开始，计到level
	SkipNode** forward; //跳表节点的后继

	SkipNode(int lvl){	//跳表节点的level，则它的level计数从0计到level
		level = lvl;
		forward = new SkipNode*[level + 1];
	}
	~SkipNode(){
		delete[] forward;
	}
};

struct SkipList{
	SkipNode* header;
	SkipList(){
		header = new SkipNode(0); //初始时，只设置一层跳
		for (int i = 0; i < MAX_LEVEL; i++){
			header->forward[i] = NULL;
		}
	};
	~SkipList(){

	}
	int FindEle(int key){
		SkipNode* p = header, *q;
		int k = header->level;
		//跳表的每个节点多层，则含有多个后继节点，后继节点的level越高，则该后继节点距离该节点越远
		//在查找的时候，将一个节点的后继节点level从高到低进行遍历。
		//当前节点在level层时，其后继节点的key若大于目标节点，则应该缩小后继距离，则此时可以减小level...直到level为0.
		//到level为0时候节点q的key不小于 要查找的key，则若跳表中存在元素key，则应该为q节点
		for (int level = k; level >= 0; level--){
			q = p->forward[level];
			while (q && q->key < key){
				p = q;
				q = p->forward[level];
			};
		}
		if (q->key == key){
			return q->value;
		}
		return INVALID_VALUE;
	}
	bool Insert(int key, int val){
		SkipNode* p = header, *q;
		SkipNode* update[MAX_LEVEL]; //update数组记录每层 最后一个节点key值小于要插入的key的节点
		int k = header->level;		// k 记录跳表中level的最大值
		for (int level = k; level >= 0; level--){
			q = p->forward[level];
			while (q && q->key < key){
				p = q;
				q = p->forward[level];
			}
			update[level] = p;
		}
		if (q->key == key){ //不能含有相同的元素
			q->value = val;
			return false;
		}
		int new_level = rand();
		if (new_level > header->level){  //随机生成节点的level
			if (new_level > header->level && header->level == MAX_LEVEL - 1){
				new_level = header->level;
			}
			else{
				k = new_level = ++header->level;	//若生成的level大于header的level，则更新 header->level 和 k
				update[k] = header;
			}

		}
		SkipNode* new_node = new SkipNode(new_level);
		new_node->key = key;
		new_node->value = val;

		//对插入的节点，更改其前驱和后继
		for (int level = k; level >= 0; level--){
			p = update[level];
			new_node->forward[level] = p->forward[level];
			p->forward[level] = new_node;
		}
		return true;
	}

	bool Delete(int key){
		SkipNode* p = header, *q;
		SkipNode* update[MAX_LEVEL];  //update数组记录每层 最后一个节点key值小于要插入的key的节点
		int k = header->level; // k 记录跳表中level的最大值
		for (int level = k; level >= 0; level--){
			q = p->forward[level];
			while (q && q->key < key){
				p = q;
				q = p->forward[level];
			}
			update[level] = p;
		}
		if (!q || q->key != key){ //若不存在元素key，直接返回
			return false;
		}
		//删除该节点，并更新其前驱和后继
		for (int level = k; level >= 0; level--){
			p = update[level];
			if (p->forward[level] == q){ //如果update节点的后继为要删除的节点，则进行更新
				p->forward[level] = q->forward[level];
			}
		}
		//删除该节点，可能会导致整个跳表的level减少
		while (header->forward[k] == NULL && k >= 0)
			k--;
		header->level = k;

		delete q;

		return true;
	}
};

参考: 跳表SkipList