Sicily-1028
一. 题意:
算出汉诺塔移动序列中对应位置的号码,数据规模很大,所以不能单纯递归,而是要找出汉诺塔序列的规律。
二. 汉诺塔数列
为了得出最少的移动步数,当n为偶数时,最上层小盘子首先移动到过渡柱上;当n为奇数时,最上层小盘子首先移动到目标柱上。不论n为奇偶,过渡柱和目标柱上,盘子的叠加编号始终是奇偶叠加,不会出现奇数或偶数连续叠加。
这里的规律是:
第 n 项 = n 能被 2 整除的次数 + 1。 (需要用高精度)
汉诺塔数列例子:
盘子个数 |
数列 |
至少需要步数 |
N = 1 |
1 |
21-1=1 |
N = 2 |
121 |
22-1=3 |
N = 3 |
1213121 |
23-1=7 |
N = 4 |
121312141213121 |
24-1=15 |
操作步骤:
当n=1时:将盘子从A柱直接移到C柱,完成移动,即(A→C)。当n=2时:先把n-1=1个盘子从A柱移动到B柱,再将A柱上最后一个盘子从A柱移动到C柱,最后将B柱上的n—1个盘子从B柱移动到C柱上,完成移动,即A→B,A→C,B→C。
当n=3时:先把n-1=2个盘子从A柱移动到B柱(借助C),再将B柱上剩余的盘子移动到C柱(借助A)。
当n为任意正整数时:同样是先把n-1个盘子从A柱移动到B柱(借助C),方法与上述相同。
通过以上分析,Hanoi问题是典型的利用递归来解决的,是将规模为n的问题,降解为规模为n-1的小问题、n-2的较小问题……依次降解,直到递归出口,求出最低阶规模的解,代入高一阶问题中,直至求出规模为n的问题的解。递归包括回溯和递推两个过程。
为了分辨n个不同的盘子,将其由小到大依序编号为1,2,3,…,n-1,n,以便于研究其所需的移动次数及次序、探求其规则性。
从n=1、n=2的移动情况,可归纳出一个结论:即n=2时处理n=1两次,共须移动22-1=3步,其Hanoi数列为121。同理可知n=3时,处理n=2两次,共须移动23-1=7步,其Hanoi数列为1213121,同理可知n=4时,处理n=3两次,总共须移动24-1=15步,其汉诺塔数列为121312141213121,依此类推。
分析得出递归模型:
f(1)=1(n=1)
f(n)=2×f(n-1)+1(n>1→)
f(n)=2×f(n-1)+1
=2×(2×f(n-2)+1)+1
=2×(2×(2×f(n-3)+1)+1)+1……
=2n-1。
因此,n个盘子总共需移动最少步数计算公式为:f(n)=2n-1。
很容易看出对于n个盘子的汉诺塔的移动步骤为s(n+1)=s(n)(n+1)s(n),假设输入为p。则L(n)=2^n-1,L(n)表示n个盘子的汉诺塔的移动步骤的数目。假如p=2^n,则结果是n+1;否则可找出一个最小的n,使得p<=2^n-1。并且p>2^(n-1),否则p<=2^(n-1),由对称性知f(p)=f(p-2^(n-1)),即减去不超过P的2的最大次幂,这样一直减下去直至p=2^x.所以结果为最初始的p表示为2进制数后从右边数起的0的个数加1.
三. 代码
//
// main.cpp
// sicily-1028
//
// Created by ashley on 14-11-7.
// Copyright (c) 2014年 ashley. All rights reserved.
// #include <iostream>
#include <string>
using namespace std; int counting(string data)
{
int sum = ;
int length = (int)data.length();
for (int i = ; i < length; i++) {
data[i] = data[i] - '';
}
while (data[length - ] % == ) {
for (int i = ; i < length; i++) {
if (i + < length) {
int b = data[i + ];
data[i + ] = (data[i] % ) * + b;
}
data[i] = data[i] / ;
}
sum++;
}
return sum + ;
} int main(int argc, const char * argv[])
{
int cases;
string number;
cin >> cases;
int counter = ;
while (counter != cases) {
cin >> number;
counter++;
cout << "Case " << counter << ": " << counting(number) << endl;
if (counter < cases) {
cout << endl;
}
}
return ;
}
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