Sicily-1028

一．        题意：

算出汉诺塔移动序列中对应位置的号码，数据规模很大，所以不能单纯递归，而是要找出汉诺塔序列的规律。

二．        汉诺塔数列

为了得出最少的移动步数，当n为偶数时，最上层小盘子首先移动到过渡柱上；当n为奇数时，最上层小盘子首先移动到目标柱上。不论n为奇偶，过渡柱和目标柱上，盘子的叠加编号始终是奇偶叠加，不会出现奇数或偶数连续叠加。

这里的规律是：

第 n 项 ＝ n 能被 2 整除的次数 + 1。 （需要用高精度）

汉诺塔数列例子：

盘子个数	数列	至少需要步数
N = 1	1	21-1=1
N = 2	121	22-1=3
N = 3	1213121	23-1=7
N = 4	121312141213121	24-1=15

操作步骤：

当n=1时：将盘子从A柱直接移到C柱，完成移动，即（A→C）。当n=2时：先把n-1=1个盘子从A柱移动到B柱，再将A柱上最后一个盘子从A柱移动到C柱，最后将B柱上的n—1个盘子从B柱移动到C柱上，完成移动，即A→B，A→C，B→C。

当n=3时：先把n-1=2个盘子从A柱移动到B柱（借助C），再将B柱上剩余的盘子移动到C柱（借助A）。

当n为任意正整数时：同样是先把n-1个盘子从A柱移动到B柱（借助C），方法与上述相同。

通过以上分析，Hanoi问题是典型的利用递归来解决的，是将规模为n的问题，降解为规模为n-1的小问题、n-2的较小问题……依次降解，直到递归出口，求出最低阶规模的解，代入高一阶问题中，直至求出规模为n的问题的解。递归包括回溯和递推两个过程。

为了分辨n个不同的盘子，将其由小到大依序编号为1，2，3，…，n-1，n，以便于研究其所需的移动次数及次序、探求其规则性。

从n=1、n=2的移动情况，可归纳出一个结论：即n=2时处理n=1两次，共须移动22-1=3步，其Hanoi数列为121。同理可知n=3时，处理n=2两次，共须移动23-1=7步，其Hanoi数列为1213121，同理可知n=4时，处理n=3两次，总共须移动24-1=15步，其汉诺塔数列为121312141213121，依此类推。

分析得出递归模型：

f（1）=1（n=1）

f（n）=2×f（n-1）+1（n＞1→）

f（n）=2×f（n-1）+1

=2×（2×f（n-2）+1）+1

=2×（2×（2×f（n-3）+1）+1）+1……

=2n-1。

因此，n个盘子总共需移动最少步数计算公式为：f（n）=2n-1。

很容易看出对于n个盘子的汉诺塔的移动步骤为s(n+1)=s(n)(n+1)s(n),假设输入为p。则L（n）=2^n-1,L(n)表示n个盘子的汉诺塔的移动步骤的数目。假如p=2^n,则结果是n+1;否则可找出一个最小的n,使得p<=2^n-1。并且p>2^(n-1),否则p<=2^(n-1),由对称性知f(p)=f(p-2^(n-1)),即减去不超过P的2的最大次幂，这样一直减下去直至p=2^x.所以结果为最初始的p表示为2进制数后从右边数起的0的个数加1.

三．        代码

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 //  main.cpp
 //  sicily-1028
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 //
 
 #include <iostream>
 #include <string>
 using namespace std;
 
 int counting(string data)
 {
     int sum = ;
     int length = (int)data.length();
     for (int i = ; i < length; i++) {
         data[i] = data[i] - '';
     }
     while (data[length - ] %  == ) {
         for (int i = ; i < length; i++) {
             if (i +  < length) {
                 int b = data[i + ];
                 data[i + ] = (data[i] % ) *  + b;
             }
             data[i] = data[i] / ;
         }
         sum++;
     }
     return sum + ;
 }
 
 int main(int argc, const char * argv[])
 {
     int cases;
     string number;
     cin >> cases;
     int counter = ;
     while (counter != cases) {
         cin >> number;
         counter++;
         cout << "Case " << counter << ": " << counting(number) << endl;
         if (counter < cases) {
             cout << endl;
         }
     }
     return ;
 }