Fibonacci 数列第 N项 O(logN）算法

时间复杂度为O( log n )的方法：

该算法使用矩阵乘法操作，使得算法时间复杂度为 O（logN）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

long long Fibonacci( unsigned n )    {          int result[2] = {0, 1};          if(n < 2)                return result[n];            long long   fibOne = 0;          long long   fibTwo = 1;          long long   fibThree ;                for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)           {                 fibThree = fibOne + fibTwo;      　　　　fibOne = fibTwo ;                 fibNTwo = fibThree;            }            return fibThree;    }      /* 下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法:   对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定义:   F( n ) = F( n-1 ) + F( n-2 ) F( 1 ) = 1 F( 2 ) = 1   矩阵形式：   [ F( n+1 ) ,  F( n ) ] = [ F( n ) , F( n-1 ) ] * Q  其中 [ F( n+1 ) ,  F( n ) ]为行向量，Q = { [ 1, 1 ]; [ 1, 0 ] }为矩阵   则 [ F( n+1 ) , F( n ) ]=[ 1 , 0 ] * Qn ,  */struct Matrix     {                  long long m_00, m_01, m_10, m_11;    　　 Matrix ( long long m00 = 0,  long long m01 = 0,  long long m10 = 0,   long long m11 = 0 )            :m_00( m00 ), m_01( m01 ), m_10( m10 ), m_11( m11 )             {            }     };      Matrix MatrixMultiply (  const Matrix & m1, const Matrix & m2    ）     {   　　long long m00 = m1.m_00 * m2.m_00 + m1.m_01 * m2.m_10; 　　long long m01 = m1.m_00 * m2.m_01 + m1.m_01 * m2.m_11;  　　long long m10 = m1.m_10 * m2.m_00 + m1.m_11 * m2.m_10     　　long long m11 = m1.m_10 * m2.m_01 + m1.m_11 * m2.m_11;        return Matrix ( m00,  m01,  m10, m11 );     }   Matrix MatrixPower( unsigned int n )     {            assert(n > 0);            Matrix m;            if( n == 1)            {                  m = Matrix(1, 1, 1, 0);            }           else if(n % 2 == 0)            {                  m = MatrixPower( n / 2 );                  m = MatrixMultiply( matrix, matrix );            }           else if( n % 2 == 1 )            {                  m = MatrixPower( (n - 1) / 2 );                  m = MatrixMultiply( m, m );                  m = MatrixMultiply( m, Matrix( 1, 1, 1, 0 ) );            }            return m;     }   long long Fibonacci( unsigned int n ) {       int result[2] = { 0, 1 };       if( n < 2 )             return result[ n ];         Matrix Q = MatrixPower( n - 1 );　　//注意：按定义式应该用[ 1, 0 ]*Q, 或者等价于{ [ 1 , 0 ]; [ 0, 0 ] }*Q, 但是因为显然结果相同，所以略去这一步。return Q.m_00; }

来源： <http://www.cnblogs.com/kevinGaoblog/archive/2012/04/07/2435710.html>

---

牛客网答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

class Solution { public:     int Fibonacci(int n) {         int result[2]={0,1};         if(n<2)return result[n];         Matrix m;         return m.Power(n-1).a00;     }     class Matrix{                public:         long int a00;         long int a01;         long int a10;         long int a11;         Matrix (long int a,long int b,long int c,long int d){             a00=a;             a01=b;             a10=c;             a11=d;         }         Matrix (){             a00=1;a01=1;a10=1;a11=0;         }         Matrix operator * (Matrix & m2){             long int b00 = a00 * m2.a00 + a01 * m2.a10;             long int b01 = a00 * m2.a01 + a01 * m2.a11;             long int b10 = a10 * m2.a00 + a11 * m2.a10;                long int b11 = a10 * m2.a01 + a11 * m2.a11;             return Matrix(b00,b01,b10,b11);         }         Matrix Power( unsigned int n )            {                   Matrix m;                   if( n == 1)                   {                         m = Matrix(1, 1, 1, 0);                   }                  else if(n % 2 == 0)                   {                         m = Power( n / 2 );                         m = m*m;                   }                  else if( n % 2 == 1 )                   {                         m = Power( (n - 1) / 2 );                         m = m*m;                       Matrix tmp;                      m = m*tmp ;                   }                   return m;            }         };      };

null