POJ2417 Discrete Logging | A,C互质的bsgs算法

题目:

给出A,B,C

求最小的x使得A^x=B  (mod C)

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题解:

bsgs算法的模板题

bsgs 全称:Baby-step giant-step

把这种问题的规模降低到了sqrt(n)级别

首先B的种类数不超过C种,结合鸽巢原理,所以A^x具有的周期性显然不超过C

所以一般的枚举算法可以O(C)解决这个问题

但是可以考虑把长度为C的区间分为k块,每块长度为b

显然x满足x=bi-p的形式(1<=i<=k,0<=p<b),所以A^x=B  (mod C)移项之后得到A^bi=A^p*B (mod C)

那么这个时候可以预处理出来A^p的所有值(可以用hash表维护)

//注意!hash表在插入之前要先找有没有这个值,如果有的话直接把改了就好

处理出A^b的值,枚举i,就可以得到答案

一般来说令k=b=sqrt(C)时间复杂度最优

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<map>
 #include<cmath>
 #define MOD 1000007
 #define EDGE 500000
 typedef long long ll;
 using namespace std;
 ll c,a,b,ok,m,tmp,t,ans,head[MOD],ecnt;
 struct adj
 {
     ll nxt,w,sum;
 }e[EDGE];
 void add(ll x,ll sum)
 {
     ll org=x;
     e[++ecnt].w=x;
     x%=MOD;
     for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
     if (e[i].w==org)
     {
         e[i].sum=sum;
         return ;
     }
     e[ecnt].sum=sum;
     e[ecnt].nxt=head[x];
     head[x]=ecnt;
 }
 ll qow(ll x,ll y,ll P)
 {
     if (y==) return ;
     if (y&) return x*qow(x*x%P,y>>,P)%P;
     return qow(x*x%P,y>>,P)%P;
 }
 ll find(ll x)
 {
     ll org=x;
     x%=MOD;
     for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
     {
     if (e[i].w==org)
         return e[i].sum;
     }
     return -;
 }
 int main()
 {
     while (scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF)
     {
     memset(head,,sizeof(head));
     ecnt=;
     ok=;
     if (a%c==)
     {
         puts("no solution");
         continue;
      }
     m=ceil(sqrt(c*1.0));
     tmp=b%c,add(tmp,);
     if (b==)
     {
         printf("0\n");
         continue;
     }
     for (int i=;i<m;i++)
     {
         tmp=tmp*a%c;
         add(tmp,i);
     }
     ll base=qow(a,m,c),tmp=;
     for (int i=;i<=m;i++)
     {
         tmp=tmp*base%c;
         ans=find(tmp);
         if (ans!=-)
         {
         printf("%lld\n",i*m-ans);
         ok=;
         break;
         }
     }
     if (!ok)
         puts("no solution");
     }
     return ;
 }