poj3415 Common Substrings（后缀数组，单调栈 | 后缀自动机）

【题目链接】

　　http://poj.org/problem?id=3415

【题意】

　　A与B长度至少为k的公共子串个数。

【思路】

　　

　　基本思想是将AB各个后缀的lcp-k+1的值求和。首先将两个字符串拼接起来中间用未出现的字符隔开，划分height数组，这首先保证了每一组中字符串之间的公共子串至少有k长度，组与组之间互不干扰。

　　问题变成了求一个组中一个A串与之前B串形成的LCP(lcp-k+1)和一个B串与之前A串形成的LCP，问题是对称的，这里先解决第一个。用一个单调栈，栈中存放两个元素分别height_top与cnt_top，分别表示到i为止的最小height和A串的数目。维护栈中元素的height从顶到底递减：每加入一个元素如果该元素比栈顶元素小则需要将tot中cnt_top个已经累计的height_top全部替换为当前元素的height（lcp是取区间最小值）。

时间复杂度为O(n)。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn =  + ;

int s[maxn];
int sa[maxn],c[maxn],t[maxn],t2[maxn];

void build_sa(int m,int n) {
    int i,*x=t,*y=t2;
    for(i=;i<m;i++) c[i]=;
    for(i=;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=;i<m;i++) c[i]+=c[i-];
    for(i=n-;i>=;i--) sa[--c[x[i]]]=i;
    for(int k=;k<=n;k<<=) {
        int p=;
        for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;
        for(i=;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
        for(i=;i<m;i++) c[i]=;
        for(i=;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=;i<m;i++) c[i]+=c[i-];
        for(i=n-;i>=;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=; x[sa[]]=;
        for(i=;i<n;i++)
            x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-]+k]?p-:p++;
        if(p>=n) break;
        m=p;
    }
}
int rank[maxn],height[maxn];
void getHeight(int n) {
    int i,j,k=;
    for(i=;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i;
    for(i=;i<n;i++) {
        if(k) k--;
        j=sa[rank[i]-];
        while(s[j+k]==s[i+k]) k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}

int n,k;
char a[maxn],b[maxn];
int sta[maxn][];

int main() {
    while(scanf("%d",&k)== && k) {
        scanf("%s%s",a,b);
        int lena=strlen(a),lenb=strlen(b);
        n=;
        for(int i=;i<lena;i++) s[n++]=a[i];
        s[n++]=;
        for(int i=;i<lenb;i++) s[n++]=b[i];
        s[n]=;

        build_sa('z'+,n+);
        getHeight(n);

        int top=;
        LL ans=,tot=;
        for(int i=;i<=n;i++) {
            if(height[i]<k) top=,tot=;
            else {
                int cnt=;
                if(sa[i-]<lena) {
                    cnt++; tot+=height[i]-k+;
                }
                while(top && height[i]<=sta[top-][]) {
                    top--;
                    tot+=(height[i]-sta[top][])*sta[top][];
                    cnt+=sta[top][];
                }
                sta[top][]=height[i],sta[top++][]=cnt;
                if(sa[i]>lena) ans+=tot;
            }
        }
        top=tot=;
        for(int i=;i<=n;i++) {
            if(height[i]<k) top=,tot=;
            else {
                int cnt=;
                if(sa[i-]>lena) {
                    cnt++; tot+=height[i]-k+;
                }
                while(top && height[i]<=sta[top-][]) {
                    top--;
                    tot+=(height[i]-sta[top][])*sta[top][];
                    cnt+=sta[top][];
                }
                sta[top][]=height[i],sta[top++][]=cnt;
                if(sa[i]<lena) ans+=tot;
            }
        }
        cout<<ans<<"\n";
    }
    return ;
}

UPD.16/4/6

【思路】

　　用字符串A构造SAM，在SAM上匹配第二个字符串B，设当前匹配长度为len，且位于状态p，则当前状态中满足条件长度不小于K的公共子串的字符串个数为

　　　　sum = len-max{ K,Min(p) }+1

　　SAM中一个状态代表的字符串长度为一个连续区间[ Min(s),Max(s) ]，Min(s)为最小长度。

　　这些字符串重复的次数为|right|，即right集的大小，可以递推得到，则当前状态对于答案的贡献为sum*|right|

　　这时候匹配的是p，还应该统计parent树中p->root的路径上的状态中满足条件的个数。

　　这里设一个懒标记tag[x]，记录节点x需要统计的次数，最后算一遍，每次如果Max(p->fa) >= K则上传标记。

　　需要注意的是可能出现大写字符 =_=

　　相比较而言SAM的做法更好想一些。

【代码】

 #include<set>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 #define rep(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 2e5+;

 int K;
 char A[N],B[N];

 int get(char c)
 {
     if(c>='a'&&c<='z') return c-'a';
     else return c-'A'+;
 }

 struct SAM
 {
     int sz,last;
     int ch[N][],fa[N],l[N],c[N],b[N],tag[N];
     int siz[N]; ll ans;

     void init() {
         sz=; last=++sz;
         memset(l,,sizeof(l));
         memset(siz,,sizeof(siz));
         memset(fa,,sizeof(fa));
         memset(ch,,sizeof(ch));
         memset(c,,sizeof(c));
         memset(tag,,sizeof(tag));
     }
     void Add(int c) {
         int np=++sz,p=last; last=np;
         l[np]=l[p]+; siz[np]=;
         for(;p&&!ch[p][c];p=fa[p]) ch[p][c]=np;
         if(!p) fa[np]=;
         else {
             int q=ch[p][c];
             if(l[q]==l[p]+) fa[np]=q;
             else {
                 int nq=++sz; l[nq]=l[p]+;
                 memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                 fa[nq]=fa[q];
                 fa[np]=fa[q]=nq;
                 for(;ch[p][c]==q;p=fa[p]) ch[p][c]=nq;
             }
         }
     }
     void get_right() {
         FOR(i,,sz) c[l[i]]++;
         FOR(i,,last) c[i]+=c[i-];
         FOR(i,,sz) b[c[l[i]]--]=i;
         rep(i,sz,) siz[fa[b[i]]]+=siz[b[i]];
     }
     ll solve(char* s) {
         int len=,p=;
         ans=;
         for(int i=;s[i];i++) {
             int c=get(s[i]);
             if(ch[p][c]) {
                 len++; p=ch[p][c];
             } else {
                 while(p&&!ch[p][c]) p=fa[p];
                 if(!p) {
                     p=; len=;
                 } else {
                     len=l[p]+; p=ch[p][c];
                 }
             }
             if(len>=K) {
                 ans+=(ll)(len-max(K,l[fa[p]]+)+)*siz[p];
                 if(l[fa[p]]>=K) tag[fa[p]]++;
             }
         }
         rep(j,sz,) {
             int i=b[j];
             ans+=(ll)tag[i]*(l[i]-max(K,l[fa[i]]+)+)*siz[i];
             if(l[fa[i]]>=K) tag[fa[i]]+=tag[i];
         }
         return ans;
     }

 }sam;

 int main()
 {
     while(scanf("%d",&K)== && K) {
         scanf("%s%s",A,B);
         sam.init();
         for(int i=;A[i];i++)
             sam.Add(get(A[i]));
         sam.get_right();
         printf("%lld\n",sam.solve(B));
     }
     return ;
 }