[BZOJ4407]于神之怒加强版
BZOJ挂了。。。
先把程序放上来,如果A了在写题解吧。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 5000010
#define ll long long
#define mod (int)(1e9+7)
using namespace std;
inline int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline int ksm(ll x,ll y)
{
ll p=;
while(y)
{
if(y&)p=p*x%mod;
x=x*x%mod;y>>=;
}
return p;
}
int prime[N],tot,f[N],p[N],k;
bool vis[N];
void pre(int t)
{
f[]=;
for(int i=;i<=t;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++tot]=i;
p[tot]=ksm(i,k);
f[i]=p[tot]-;
}
for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=t;j++)
{
vis[i*prime[j]]=;
if(!(i%prime[j]))
{
f[i*prime[j]]=(ll)f[i]*p[j]%mod;
break;
}
f[i*prime[j]]=(ll)f[i]*f[prime[j]]%mod;
}
}
for(int i=;i<=t;i++)
f[i]=(f[i]+f[i-])%mod;
}
int n[],m[],t,maxn;
int main()
{
t=read();k=read();
for(int i=;i<=t;i++)
{
n[i]=read();
m[i]=read();
if(n[i]>m[i])swap(n[i],m[i]);
maxn=max(maxn,n[i]);
}
pre(maxn);
for(int z=;z<=t;z++)
{
int ans=;
for(int i=,j;i<=n[z];i=j+)
{
j=min(n[z]/(n[z]/i),m[z]/(m[z]/i));
ans=(ans+((ll)(f[j]+mod-f[i-])*(n[z]/i)%mod*(m[z]/i)%mod))%mod;
}
printf("%d\n",ans);
}
}
update:
$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)^k$
$=\sum\limits_{d=1}^nd^k*\sum\limits_{i=1}^{[\frac nd]}\sum\limits_{j=1}^{[\frac md]}\gcd(i,j)==1$
$=\sum\limits_{d=1}^nd^k*\sum\limits_{i=1}^{[\frac nd]}\sum\limits_{j=1}^{[\frac md]}\sum\limits_{t|i,t|j}\mu(t)$
$=\sum\limits_{d=1}^nd^k*\sum\limits_{t=1}^n\mu(t)*[\frac n{td}]*[\frac m{td}]$
令$x=d*t$
原式=$\sum\limits_{x=1}^n[\frac nx][\frac mx]\sum\limits_{d|x}\mu(\frac xd)*d^k$
后面那个显然是积性函数,可以线性筛。线性筛预处理+分块 时间复杂度$O(n+T*\sqrt n)$
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