[BZOJ4407]于神之怒加强版

BZOJ挂了。。。

先把程序放上来，如果A了在写题解吧。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define N 5000010
 #define ll long long
 #define mod (int)(1e9+7)
 using namespace std;
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 inline int ksm(ll x,ll y)
 {
     ll p=;
     while(y)
     {
         if(y&)p=p*x%mod;
         x=x*x%mod;y>>=;
     }
     return p;
 }
 int prime[N],tot,f[N],p[N],k;
 bool vis[N];
 void pre(int t)
 {
     f[]=;
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         if(!vis[i])
         {
             prime[++tot]=i;
             p[tot]=ksm(i,k);
             f[i]=p[tot]-;
         }
         for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=t;j++)
         {
             vis[i*prime[j]]=;
             if(!(i%prime[j]))
             {
                 f[i*prime[j]]=(ll)f[i]*p[j]%mod;
                 break;
             }
             f[i*prime[j]]=(ll)f[i]*f[prime[j]]%mod;
         }
     }
     for(int i=;i<=t;i++)
     f[i]=(f[i]+f[i-])%mod;
 }
 int n[],m[],t,maxn;
 int main()
 {
     t=read();k=read();
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         n[i]=read();
         m[i]=read();
         if(n[i]>m[i])swap(n[i],m[i]);
         maxn=max(maxn,n[i]);
     }
     pre(maxn);
     for(int z=;z<=t;z++)
     {
         int ans=;
         for(int i=,j;i<=n[z];i=j+)
         {
             j=min(n[z]/(n[z]/i),m[z]/(m[z]/i));
             ans=(ans+((ll)(f[j]+mod-f[i-])*(n[z]/i)%mod*(m[z]/i)%mod))%mod;
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
 }

update:

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)^k$
$=\sum\limits_{d=1}^nd^k*\sum\limits_{i=1}^{[\frac nd]}\sum\limits_{j=1}^{[\frac md]}\gcd(i,j)==1$
$=\sum\limits_{d=1}^nd^k*\sum\limits_{i=1}^{[\frac nd]}\sum\limits_{j=1}^{[\frac md]}\sum\limits_{t|i,t|j}\mu(t)$
$=\sum\limits_{d=1}^nd^k*\sum\limits_{t=1}^n\mu(t)*[\frac n{td}]*[\frac m{td}]$
令$x=d*t$
原式=$\sum\limits_{x=1}^n[\frac nx][\frac mx]\sum\limits_{d|x}\mu(\frac xd)*d^k$

后面那个显然是积性函数，可以线性筛。线性筛预处理+分块 时间复杂度$O(n+T*\sqrt n)$