HZOJ Function

比较神仙的一道dp，考试的时候还以为是打表找规律啥的。

我们重新描述一下这道题:一个10 9 × n的网格,每个格子有一个权值,每一列格子的权值都是相同的。从一个起点开始,每次可以向上走一格或者向左上角走一格,直到走到最上面一行为止,你需要最小化经过的格子的总权值。

然而我并没有看出来。

首先我们可以发现一些显然的性质,最优的路径之一一定形如:先往左上走若干步(可能不走),到达权值较小的一列后,一直往上走到顶。对于每个询问,枚举从起点出发最终会到达哪一列,就可以得到一个O(nq)的做法。

然而我也没有想到……

算了直接把作者的题解全放出来吧：

对于任意1 ≤ i ≤ j ≤ n, 从(x, j)出发最终到达第i列然后走到顶的代价,可以表示为一个关于x的一次函数,我们只关心这些一次函数的最小值,也就是这些直线形成的下凸壳。我们得到一个思路:将询问离线,按y从小到大排序,从最左边开始每次加入一条直线,维护下凸壳,然后在凸壳上二分即可得到答案。怎么维护下凸壳呢?对于一个点(x, y),它要么继承上一列x − 1的决策,要么就直接往上走到顶。并且我们发现,第二种情况只会出现在从顶端开始连续的一段中。于是我们只需要用栈维护凸壳即可。O((n + q) log n).

刚开始没怎么看懂，好像我的做法和题解也不是很一样，其实现在还有一些细节没有搞明白……

首先看暴力的式子：$ans=min(ans,sum[y(i)]-sum[j]+(x(i)-y(i)+j)*A[j])$

在y固定时，他是一个关于x的一次函数，即$y=kx+b$的形式，设走到j时停止然后向上走，那么$k=A[j],b=sum[y]-sum[j]+(j-y)*A[j]$

对于每一个j都是一条直线，那么这些直线构成了一个上凸壳。

我们可以用On的复杂度枚举y，用栈维护凸壳（添加直线是加在了坐标系的最左边），考虑y增加会给直线造成什么影响，只会使直线的截距发生改变而斜率不变，所以原来的凸壳仍然是对的。

那么考虑如何吧j=y的这条之间加入凸壳，首先将斜率大于这条直线的栈顶直线弹掉，然后交点也得是单调的，继续弹掉不合法的，（自己yy一下坐标系，横轴是询问的x，纵轴为最优解），

然后处理当前y的询问，直接二分栈找到当前x在坐标系中对应的直线就可以了（一定注意栈顶其实是坐标轴最左边的直线）。

放下代码（稍恶心）：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #define st sta[top]
 #define sm sta[mid]
 #define sm1 sta[mid+1]
 #define st1 sta[top-1]
 #define int LL
 #define LL long long
 using namespace std;
 struct ques
 {
     int x,y,id;
     #define x(i) que[i].x
     #define y(i) que[i].y
     #define id(i) que[i].id
     friend bool operator < (ques a,ques b)
     {return a.y<b.y;}
 }que[];
 int n,A[],q,maxx;
 LL sum[],al[];
 LL sta[],top;
 double getx(int k1,int k2,int j1,int j2){return (double)(j2-j1)/(double)(k1-k2);}
 inline int read();
 signed main()
 {
 //    freopen("function2.in","r",stdin);
 //    freopen("out.out","w",stdout);

     n=read();
     for(int i=;i<=n;i++)A[i]=read(),sum[i]=sum[i-]+A[i];
     q=read();
     for(int i=;i<=q;i++)x(i)=read(),y(i)=read(),id(i)=i;
     sort(que+,que+q+);

     int now=;
     for(int y=;y<=n;y++)
     {
         while(top&&A[sta[top]]>=A[y])top--;
         while(top>&&
                 getx(A[y],A[st],,sum[y]-sum[st]+A[st]*(st-y))
               >=getx(A[st1],A[st],sum[y]-sum[st1]+A[st1]*(st1-y),sum[y]-sum[st]+A[st]*(st-y))
                 )top--;
         sta[++top]=y;
         for(;y(now)==y&&now<=q;now++)
         {
             int l=,r=top,mid;
             while(l<r)
             {
                 mid=(l+r)>>;
                 double tx=getx(A[sm],A[sm1],sum[y]-sum[sm]+A[sm]*(sm-y),sum[y]-sum[sm1]+A[sm1]*(sm1-y));
                 if(x(now)<=tx)l=mid+;
                 else r=mid;
             }
             mid=l;
             al[id(now)]=sum[y]-sum[sm]+A[sm]*(x(now)-y+sm);
         }

     }
     for(int i=;i<=q;i++)printf("%lld\n",al[i]);
 }
 inline int read()
 {
     int s=,f=;char a=getchar();
     while(a<''||a>''){if(a=='-')f=-;a=getchar();}
     while(a>=''&&a<=''){s=s*+a-'';a=getchar();}
     return s*f;
 }