dp-多重背包

（推荐 ： http://blog.csdn.net/insistgogo/article/details/11176693 ）

学会了前两个背包 ， 学这个背包还是很轻松的 。

　　多重背包 ， 顾名思义 ， 就是前两种背包结合到一起 ， 首先还是用一个例子说明 。

1、问题描述

　　已知:有一个容量为V的背包和N件物品，第i件物品最多有Num[i]件，每件物品的重量是weight[i]，收益是cost[i]。

　　问题:在不超过背包容量的情况下，最多能获得多少价值或收益

　　

多重背包 区别于二重背包的地方就在于 所给出的物品数是有限的 。

　　

　　用二维数组写出代码 ：

　　

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std ;
#define Max(a,b) a>b?a:b
#define Min(a,b) a>b?b:a

int dp[100][1000] ;
int weight[10] ;
int value[10] ;
int num[10] ;

int main ( ) {
    int n , v ;
    cin >> n >> v ;

    for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) {
        cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i] ;
    }

    for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) {
        for ( int j = weight[i] ; j <= v ; j++ ) {
            int f = Min ( num[i] , j / weight[i] ) ;
            for (int k = 1 ; k <= f ; k*=2 ) {    // 三层 for ， 最内层的for 用来进行在进行在 每种物品的每种体积下，一直放入同一种物品
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　// 此处有一个小的优化 ， 就是我每种物品的数量通过 1、2、4、8、16……2^k 来控制
                dp[i][j] = Max ( dp[i-1][j] , dp[i-1][j-k*weight[i]]+k*value[i] ) ;
            //    cout << dp[i][j] << '\t' ;
            }

        }
    //    cout << '\n' ;
    }

    cout << dp[n][v] << endl ;
    return 0 ;
}

上述的优化方法就采用了二进制的思想

　　对每件物品拆分 ， 拆分的数量可以是 1件 、 2件 、 4件 ……2^k 件，并且要保证 2^k <= num[ i ] ，但是这里的最后一件是 num[ i ] - 前面所有物品的和 ， 那么对 num[ i ] 来说 ， 就一定会有前面的 数相加等于 num[ i ] ，其实这样对物品拆分 ， 在取得话 ， 就可以看成每件新拆分出的物品只有一件 ， 进而不就转换成 01背包了吗 ，一定要注意领悟这个拆分的思想 ， 是讲背包的物品总数分解开 。

优化 ：

　　说到拆分 ， 有种情况是不用拆分的 ， 就是当  weight[ i ] * num[ i ] >= v ，因为这种情况就可以理解成物品的数量充足 ，那么不就转化成 完全背包的情况吗 ？ 直接就会被优化到 O（v*n） 。

　　对于不满足完全背包情况的物品进行拆分 ， 此时物品的个数就没有对所有物品进行拆分的个数多 ， 那么循环的次数就会降下来 ， 复杂度也就降低了 。

　　

代码示例 ：

　

#include <iostream>
using namespace std;  

const int N = 3;//物品个数
const int V = 8;//背包容量
int Weight[N + 1] = {0,1,2,2};
int Value[N + 1] = {0,6,10,20};
int Num[N + 1] = {0,10,5,2};  

int f[V + 1] = {0};
/*
f[v]:表示把前i件物品放入容量为v的背包中获得的最大收益。
f[v] = max(f[v],f[v - Weight[i]] + Value[i]);
v的为逆序
*/
void ZeroOnePack(int nWeight,int nValue)
{
    for (int v = V;v >= nWeight;v--)
    {
        f[v] = max(f[v],f[v - nWeight] + nValue);
    }
}  

/*
f[v]:表示把前i件物品放入容量为v的背包中获得的最大收益。
f[v] = max(f[v],f[v - Weight[i]] + Value[i]);
v的为增序
*/
void CompletePack(int nWeight,int nValue)
{
    for (int v = nWeight;v <= V;v++)
    {
        f[v] = max(f[v],f[v - nWeight] + nValue);
    }
}  

int MultiKnapsack()
{
    int k = 1;
    int nCount = 0;
    for (int i = 1;i <= N;i++)
    {
        if (Weight[i] * Num[i] >= V)
        {
            //完全背包:该类物品原则上是无限供应，
            //此时满足条件Weight[i] * Num[i] >= V时，
            //表示无限量供应，直到背包放不下为止.
            CompletePack(Weight[i],Value[i]);
        }
        else
        {
            k = 1;
            nCount = Num[i];
            while(k <= nCount)
            {
                ZeroOnePack(k * Weight[i],k * Value[i]);
                nCount -= k;
                k *= 2;
            }
            ZeroOnePack(nCount * Weight[i],nCount * Value[i]);
        }
    }
    return f[V];
}  

int main()
{
    cout<<MultiKnapsack()<<endl;
    system("pause");
    return 1;
}