HDU 6623"Minimal Power of Prime"（数学）

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•题意

　　给你一个大于 1 的正整数 n；

　　它可以分解成不同的质因子的幂的乘积的形式，问这些质因子的幂中，最小的幂是多少。

•题解

　　定义 $ans$ 表示最终答案；

　　①如果 $ans \ge 5$：

　　　　那么，肯定有 $n=p^{ans}\ ,\ p \le \sqrt[{ans}]{n}$，也就是说 $\ p \le 10^{\frac{18}{5}}$；

　　所以，我们可以提前预处理出 $[1,10000]$ 内的素数，筛出 $n$ 中属于 $[1,10000]$ 内的质因子；

　　如果在这个过程中出现 $n=1$ 或者 $ans=1$，那么直接返回 $ans$ 即可；

　　如果筛完 $[1,10000]$ 内的素数后，$n > 1$，那么，就有如下情况：

　　　　（1）存在质数 p，满足 p > 10000 并且 n 只能分解出一个 p，此时应输出 1；

　　　　（2）存在质数 p,q，满足 p > 10000 , q > 10000，有 $n = p^2$ 或 $n = p^2 \cdot q^2$，对于这种情况，$n$ 肯定是个完全平方数；

　　　　（3）存在质数 p，满足 p > 10000，并且有 $n=p^3$，这种情况下，$n$ 肯定是个立方数；

　　　　（4）存在质数 p，满足 p > 10000，并且有 $n=p^4$；

　　如果情况（1）成立，那么，情况（2）（3）（4）肯定不成立，但是情况（1）可能不好直接判断；

　　那么，我们可以先判断情况（4）（2）（3）是否成立，如果不成立，那么（1）肯定成立；

　　疑惑（1）：如果 $(\sqrt[4]{n})^4=n$，那为什么一定有 $\sqrt[4]{n}$ 为素数呢？

　　　　定义 $x=\sqrt[4]{n}$，那么有 $x \le 10^{\frac{18}{4}}$；

　　　　如果 $x$ 为合数，那么势必存在某个大于 1 因子 f，$f \le \sqrt{x} < 10^4$；

　　　　但，来到此步的条件是 $n$ 中所有属于 $[1,10000]$ 内的质因子已被筛走，所以，是不存满足条件的 $f$ 的；

　　　    所以说，$x$ 一定是个素数；

　　疑惑（2）：为什么要先判断情况（4）再判断情况（2）：

　　　　因为满足情况（4）肯定满足情况（2），但是此时满足情况（2）的因子就不是质因子了；

•Code

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 const int N=1e4;

 ll n;
 int cnt;
 int prime[N];
 bool isPrime[N+];

 void Prime()
 {
     cnt=;
     mem(isPrime,true);
     isPrime[]=false;

     for(int i=;i <= N;++i)
     {
         if(isPrime[i])
             prime[++cnt]=i;

         int x;
         for(int j=;j <= cnt && (x=i*prime[j]) <= N;++j)
         {
             isPrime[x]=false;

             if(i%prime[j] == )
                 break;
         }
     }
 }
 bool Calc(ll x)
 {
     int l=,r=(int)1e6+;
     while(r-l > )
     {
         ll mid=l+((r-l)>>);
         if(mid*mid*mid > x)
             r=mid;
         else
             l=mid;

         if(mid*mid*mid == x)
             return true;
     }
     return false;
 }
 int Solve()
 {
     int ans=;
     for(int i=;i <= cnt;++i)
     {
         int k=;
         while(n%prime[i] == )
         {
             k++;
             n /= prime[i];
         }
         if(k)
             ans=min(ans,k);

         if(n ==  || ans == )
             return ans;
     }

     ll x=sqrt(sqrt(n));
     ll y=sqrt(n);

     if(x*x*x*x == n)
         ans=min(ans,);
     else if(y*y == n)
         ans=min(ans,);
     else if(Calc(n))
         ans=min(ans,);
     else
         ans=;

     return ans;
 }
 int main()
 {
     Prime();

     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%lld",&n);
         printf("%d\n",Solve());
     }
     return ;
 }