HDU 6623 Minimal Power of Prime（数学）

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•题意

　　给你一个大于 1 的正整数 n；

　　它可以分解成不同的质因子的幂的乘积的形式，问这些质因子的幂中，最小的幂是多少。

•题解

把[1,10000]内的素数筛出来，然后对于每个素$P$数遍历找$P_{k}$的$k$,用$ans$来维护最小的$k$

对于大于10000的素数，$(10^{4})^{4}<10^{18}<(10^{4})^{5}$,所以最大是4次方

先看4次方：

若$x^{4}==n$，则$x$一定是素数，为什么是素数？

根据欧拉定理，一个数可以分成若干个素数乘积的形式。如$m=p_{1}^{k1}\cdot p_{2}^{k2}\cdot p_{3}^{k3}\cdot p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}$

假设$p_{1},p_{2},p_{3}$为$10000$以内的素数，$p_{4},p_{5}$为大于$10000$的素数。

由于$n$的$10000$以内的素数都被消去了，现只剩下$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n$

因为$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n=x^{4}$,由上只上限是4， 为了方便设$k4=k5=4$，所以$p_{4}^{4}\cdot p_{5}^{4}$可以合并为$(p_{4}p_{5})^{4}$,也就是$x=(p_{4}p_{5})$这个合数。

但是$p_{4},p_{5}$都是$>10^{4}$,所以$x=(p_{4}p_{5})>10^{8}$,即$n=x^{4}=(p_{4}p_{5})^{4}>10^{18}$，与题意矛盾

再看2次方

若$x^{2}==n$，则$x$可能是合数可能是素数？

　　如果是4次方的话肯定不能是2次方，由上只$x$是个素数，那$y=x^{2}$的话，$y$就是合数了，所以2次方4次方只能存在一个

如果不是4次方的话，可以是2次方有两种情况，$x$是素数和$x$是合数，素数符合是明显的，那合数为什么符合呢

仍然以上述例子$m=p_{1}^{k1}\cdot p_{2}^{k2}\cdot p_{3}^{k3}\cdot p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}$

假设$p_{1},p_{2},p_{3}$为$10000$以内的素数，$p_{4},p_{5}$为大于$10000$的素数。

由于$n$的$10000$以内的素数都被消去了，现只剩下$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n$

因为$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n=x^{2}$,由上面上限是4同理知上限是2，为了方便设$k4=k5=2$，所以$p_{4}^{2}\cdot p_{5}^{2}$可以合并为$(p_{4}p_{5})^{2}$,也就是$x=(p_{4}p_{5})$这个合数。对于$p_{4}^{2}$这个素数来说是2，对于$p_{5}^{2}$这个素数来说也是2，对于$(p_{4}p_{5})^{2}$这个合数可以分成$p_{4}^{2} p_{5}^{2}$这两个素数，也是2.

3次方与4次方同理

如果都不是的话，就只剩下一个素数了，那就是1

•代码

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 const int maxn=1e4;
 const int mmaxn=1e6;
 int prime[maxn];
 bool Mark[maxn+];
 int num;
 void Prime()
 {
     for(int i=;i<=maxn;i++)
     {
         if(Mark[i]==)
             prime[num++]=i;
         for(int j=;j<num&&prime[j]*i<=maxn;j++)
         {
             Mark[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==)
                 break;
         }
     }
 }
 int main()
 {
     Prime();
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         ll n;
         scanf("%lld",&n);
         int ans=;
         for(int i=;i<num;i++)
         {
             int cur=;
             while(n%prime[i]==)
             {
                 n/=prime[i];
                 cur++;
             }
             if(!cur)
                 continue;
             ans=min(ans,cur);
             if(ans==||n==)
             {
                 printf("%d\n",ans);
                 break;
             }
         }
         if(ans==||n==)
             continue;

         ll x=sqrt(sqrt(n));
         ll y=sqrt(n);

         if(x*x*x*x==n)///
             ans=min(ans,);
         else if(y*y==n)///
             ans=;
         else///
         {
             bool flag=false;
             ll l=maxn-,r=mmaxn+;
             while(r-l>)
             {
                 ll mid=(l+r)>>;
                 if(mid*mid*mid>n)
                     r=mid;
                 else
                     l=mid;
                 if(mid*mid*mid==n)
                 {
                     flag=true;
                     ans=min(ans,);
                     break;
                 }
             }
             if(!flag)
                 ans=;
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
 }