CF528E Triangles3000

题意：给你一个不存在三线共交点的一次函数组a[i]x+b[i]y+c[i]=0。

问等概率选取三条直线，围成三角形的面积的期望。

n<=3000.

标程：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int n;
 double ans,x,y,X,Y;
 struct node{int a,b,c;}p[];
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].c);
         if (p[i].b<) p[i].a=-p[i].a,p[i].b=-p[i].b,p[i].c=-p[i].c;//避免后面不等式的变号
     }
     for (int i=;i<=n;i++)
       for (int j=i+;j<=n;j++)
         if (-p[i].a*p[j].b<-p[j].a*p[i].b) swap(p[i],p[j]);
    for (int i=;i<=n;i++)
     {
         X=Y=;
         for (int j=i+,k=;k<n;k++,j++)
         {
             if (j>n) j=;
             x=(double)(p[j].c*p[i].b-p[i].c*p[j].b)/(p[i].b*p[j].a-p[i].a*p[j].b);//求交点
             y=(double)(p[j].c*p[i].a-p[i].c*p[j].a)/(p[i].a*p[j].b-p[i].b*p[j].a);//这样写对0有符号，可以避免被0除
             ans+=x*Y-X*y;//叉积求平行四边形面积
             X+=x;Y+=y;
         }
     }
     printf("%.4lf\n",ans*/n/(n-)/(n-));
     return ;
 }

题解：叉积前缀和

最愚蠢的方法自然是n^3枚举直线。计算几何常用套路前缀和。将直线按照斜率排序，枚举直线a和直线b，统计斜率在[a,b]之间的三角形面积和。用叉积来求需要交点，一个交点为直线a和直线b的交点，另一个交点集合为直线a与中间直线们的交点（前缀和维护x坐标和，y坐标和）。

注意三角形的面积要通过三个顶点的两两的叉积来求。

时间复杂度O(n^2)。

附：CF官方题解还有一个超级牛逼的方法。外框一个矩形，那么三角形面积就等于矩形面积减去三块直线夹角夹成的四边形。每两条直线的夹角（有两个）夹成的四边形被统计多少次，也就是斜率在这个夹角范围内的直线条数，可以用叉积是否在其中。