csps区间dp

加分二叉树

我们可以枚举中间这个 k 的位置，然后分别递归计算左右子树，这就让我们想到这是一个和区间有关的，我们可以用区间dp来解决。

\(f[i][j]\) 表示 i， j 这个区间的最大分值。用一个很板子的区间dp就可以解决了。

至于求前序遍历，我们也只需要通过递归然后枚举中间的根，第一个满足最大值的就是字典序最小的，这样就可以解决了。

能量项链

破环成链，然后很明显能看出来这是一个区间dp，直接套板子。（貌似需要开long long）

矩阵取数游戏

由于每一层之间都是相互独立的，所以我们可以对于每一行进行区间dp，然后存一个 res 去累加每一行的分值。

对于每一次的 \(2 ^ i\) 我们可以采用快速幂来解决。

但是由于最后结果可能很大，我们要注意，要么开高精度，要么开__int128。

括号序列

属于是区间dp + 状态机模型了。（

我们可以对一个很长的字符串进行一步一步的拆解。

我们这样子定义状态：

1. \((\dots)\) 表示左右两边有括号，然后中间是一堆 *，这个括号是单独的。
2. \(()()()()\) 一堆括号并列。
3. \(****()\) 前面一堆星，后面跟个超级括号。
4. \(()**()**\) 前面是单独的或者并列的，后面是一堆星。
5. \(()()(\dots)\) 后面是星号。

\[f[l][r][0] = \sum_{i=0}^{5} f[l][r][i]
\]

\[f[l][r][1] = f[l][r][0] * (f[l][r][0] + f[l][r][1] + f[l][r][3]
\]

\[f[l][r][2] = f[l][r][2]
\]

\[f[l][r][3] = \sum_{i=0}^{1} f[l][r][i] * f[l][r][2]
\]

\[f[l][r][4] = \sum f[l][r][2] * (f[l][r][1] + f[l][r][0])
\]

最后的结果要么是并列的（2），要么是单独的（1）。二者相加就是答案了。