POJ 2728 Desert King ★(01分数规划介绍 && 应用の最优比率生成树)

【题意】每条路径有一个 cost 和 dist，求图中 sigma(cost) / sigma(dist) 最小的生成树。

标准的最优比率生成树，楼教主当年开场随手1YES然后把别人带错方向的题Orz……

♦01分数规划

参考Amber-胡伯涛神牛的论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》

°定义

分数规划（fractional programming）的一般形式：

Minimize  λ = f(x) = a(x) / b(x)   ( x∈S  && ∀x∈S, b(x) > 0 )

其中，解向量x在解空间S内， a(x)与b(x)都是连续的实值函数。

分数规划的一个特例是0-1分数规划(0-1 fractional programming)，就是其解向量x满足∀x_i∈{0,1}（这就是所谓的0-1）。形式化定义如下：

Minimize  λ = f(x) = a•x / b•x = sigma(a*x) / sigma(b*x) ( x∈{0,1}^n && b•x > 0 )

并且对解向量x可能还有其他的组合限制，这些针对解向量x的不同限制也就有了01分数规划的不同模型：比如最优比率生成树、最优比率生成环、最优比率割……

°解法

假设我们已经知道了最终答案λ，那么方程就可以写为： sigma(ax*) = sigma(bx*)•λ， 即sigma(ax*) - sigma(bx*)•λ = 0

令g(λ) = min(x∈S){ sigma(ax) - λ•sigma(bx) }， 易知该函数单调递减，且设*λ为该规划的最优解，则

g(λ) = 0 ⇔ λ = *λ

g(λ) > 0 ⇔ λ < *λ

g(λ) < 0 ⇔ λ > *λ

所以我们就可以二分枚举λ，然后判断g(λ)是否等于0……而g(λ)的计算要根据不同模型（即对x的不同限制）具体解决。

【Dinkelbach迭代算法】

不同于刚才的二分枚举，算法采用牛顿迭代的方式来求λ。

①初始设λ₀ = 0

②计算g(λ₀)，并且得到最优解*x

③计算*λ = a•*x / b•*x， 如果*λ = λ₀，算法结束；否则令λ₀ = *λ，继续步骤②.

迭代比二分速度快很多，而且不用考虑二分的上界。

【最优比率生成树解法】

我们回到此题，就比如此题的最优比率生成树，二分枚举λ，那么就判断g(λ) = min(x∈S){ (cost-λ*dist)•x }是否等于0.

而计算g(λ)就是把原图中的每条边的权值都改为cost-λ*dist，然后求最小生成树即可.

#include
#include
//精度模板
const double eps = 1e-4;
bool dd(double x,double y)  {   return fabs( x - y )  dist[i]){
                minx = dist[i];
                u = i;
            }
        }
        if (u == -1) break;
        vis[u] = 1;
        csum += cost[pre[u]][u];
        lsum += len[pre[u]][u];
        for (int i = 2; i  w){
                dist[i] = w;
                pre[i] = u;
            }
        }
    }
    return csum / lsum;
}
int main(){
	//freopen("test.in", "r", stdin);
	//freopen("test.out", "w", stdout);
    while(scanf("%d", &n), n){
        for (int i = 1; i