POJ 2728 Desert King ★(01分数规划介绍 && 应用の最优比率生成树)
【题意】每条路径有一个 cost 和 dist,求图中 sigma(cost) / sigma(dist) 最小的生成树。
标准的最优比率生成树,楼教主当年开场随手1YES然后把别人带错方向的题Orz……
♦01分数规划
参考Amber-胡伯涛神牛的论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
°定义
分数规划(fractional programming)的一般形式:
Minimize λ = f(x) = a(x) / b(x) ( x∈S && ∀x∈S, b(x) > 0 )
其中,解向量x在解空间S内, a(x)与b(x)都是连续的实值函数。
分数规划的一个特例是0-1分数规划(0-1 fractional programming),就是其解向量x满足∀xi∈{0,1}(这就是所谓的0-1)。形式化定义如下:
Minimize λ = f(x) = a•x / b•x = sigma(a*x) / sigma(b*x) ( x∈{0,1}^n && b•x > 0 )
并且对解向量x可能还有其他的组合限制,这些针对解向量x的不同限制也就有了01分数规划的不同模型:比如最优比率生成树、最优比率生成环、最优比率割……
°解法
假设我们已经知道了最终答案λ,那么方程就可以写为: sigma(ax*) = sigma(bx*)•λ, 即sigma(ax*) - sigma(bx*)•λ = 0
令g(λ) = min(x∈S){ sigma(ax) - λ•sigma(bx) }, 易知该函数单调递减,且设*λ为该规划的最优解,则
g(λ) = 0 ⇔ λ = *λ
g(λ) > 0 ⇔ λ < *λ
g(λ) < 0 ⇔ λ > *λ
所以我们就可以二分枚举λ,然后判断g(λ)是否等于0……而g(λ)的计算要根据不同模型(即对x的不同限制)具体解决。
【Dinkelbach迭代算法】
不同于刚才的二分枚举,算法采用牛顿迭代的方式来求λ。
①初始设λ0 = 0
②计算g(λ0),并且得到最优解*x
③计算*λ = a•*x / b•*x, 如果*λ = λ0,算法结束;否则令λ0 = *λ,继续步骤②.
迭代比二分速度快很多,而且不用考虑二分的上界。
【最优比率生成树解法】
我们回到此题,就比如此题的最优比率生成树,二分枚举λ,那么就判断g(λ) = min(x∈S){ (cost-λ*dist)•x }是否等于0.
而计算g(λ)就是把原图中的每条边的权值都改为cost-λ*dist,然后求最小生成树即可.
#include
#include
//精度模板
const double eps = 1e-4;
bool dd(double x,double y) { return fabs( x - y ) dist[i]){
minx = dist[i];
u = i;
}
}
if (u == -1) break;
vis[u] = 1;
csum += cost[pre[u]][u];
lsum += len[pre[u]][u];
for (int i = 2; i w){
dist[i] = w;
pre[i] = u;
}
}
}
return csum / lsum;
}
int main(){
//freopen("test.in", "r", stdin);
//freopen("test.out", "w", stdout);
while(scanf("%d", &n), n){
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