【HDU3117】Fibonacci Numbers

【HDU3117】Fibonacci Numbers

题面

求斐波那契数列的第\(n\)项的前四位及后四位。

其中\(0\leq n<2^{32}\)

题解

前置知识：线性常系数齐次递推

其实后四位还是比较好求，矩阵快速幂就可以了，主要是前四位。

先用线性常系数齐次递推求出斐波那契数列的通项公式

\[f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\left((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right)
\]

因为数列的前\(39\)项我们还是存的下的，所以我们只考虑\(n\geq40\)的情况

考虑到\(n\geq40\)时\(\frac{\sqrt 5}{5}*(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\)是个很小的东西，可以不考虑它的影响

那么我们就是要求

\[\frac{\sqrt 5}{5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n
\]

现在先考虑这样一个式子，数\(x\)用科学计数法表示

\[x=t*10^k
\]

那么\(x\)的前四位即为\(t\)的前四位，我们将\(x\)取个常用对数

\[\lg x=\lg t+k
\]

类比上式以及我们要求的式子：

\[\begin{aligned}
y&=\lg\left(\frac{\sqrt 5}{5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\right)\\
&=\lg\frac{\sqrt 5}{5}+\lg\;(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\\
&=\lg\frac{\sqrt 5}{5}+n\times \lg\frac{1+\sqrt5}{2}
\end{aligned}
\]

那么\(\lg t=y-\lfloor y\rfloor\)，最后\(1000\times 10^y\)的整数部分就是答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int Mod = 1e4;
struct Matrix {
	int m[2][2];
	Matrix() { memset(m, 0, sizeof(m)); }
	void init() { for (int i = 0; i < 2; i++) m[i][i] = 1; }
	int *operator [] (int id) { return m[id]; }
	Matrix operator * (const Matrix &b) {
		Matrix res;
		for (int i = 0; i < 2; i++)
			for (int j = 0; j < 2; j++)
				for (int k = 0; k < 2; k++)
					res[i][j] = (res[i][j] + m[i][k] * b.m[k][j] % Mod) % Mod;
		return res;
	}
} ;
int N, f[40];
int TASK1() {
	double s = log10(sqrt(5.0) / 5.0) + 1.0 * N * log10((1.0 + sqrt(5.0)) / 2.0);
	s = s - (int)s;
	double ans = 1000 * pow(10.0, s);
	return ans;
}
int TASK2() {
	Matrix S, T, ans; int n = N; ans.init();
	S[0][0] = 1;
	T[0][0] = 1, T[0][1] = 1;
	T[1][0] = 1, T[1][1] = 0;
	while (n) { if (n & 1) ans = ans * T; n >>= 1; T = T * T; }
	S = ans * S;
	return ans[1][0];
}
int main () {
	f[0] = 0, f[1] = 1; for (int i = 2; i < 40; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
	while (~scanf("%d", &N)) {
		if (N < 40) { printf("%d\n", f[N]); continue; }
		printf("%04d...%04d\n", TASK1(), TASK2());
	}
	return 0;
}