[HEOI2017] 相逢是问候

Description

支持以下两个操作：

将第 $l$ 个数到第 $r$ 个数 $a_l,a_{l+1},\dots a_r$ 中的每个数 $a_i$ 替换为 $c^{a_i}$。 $c$ 是给定的常数。
求第 $l$ 个数到第 $r$ 个数的和，对 $p$ 取模。

$N\leq 50000,p\leq 10^8$

Solution

首先有一道这题的弱化版：计算$2^{2^{2^{\dots}}}\%p$ 的值。

扩展欧拉定理的板子。$$a^b\equiv \begin{cases}a^{b% \phi(p)};;;\qquad gcd(a,p)=1\a^b\qquad;\qquad;; gcd(a,p)\ne1,b<\phi(p)\a^{b%\phi(p)+\phi(p)}\quad gcd(a,p)\ne1,b\geq\phi(p)\end{cases} \qquad (mod;p)$$

首先一个结论是一个数循环取 $phi$ ，$O(log)$ 次之后就会变成 $1$。证明大概是奇数变偶数，偶数除以二。

所以这个简单题就可以不断的取 $phi$，当模数变成 $1$ 时再递归回来就行了。

然后看这道省选题。

最开始还以为 $c$ 是每次操作给的数，一直在纠结为啥操作 $O(log)$ 次就不变了。。。

这题难点就是在每次暴力求的时候要注意很多细节。

一个就是快速幂完了之后不知道指数到底该不该再加上一个 $\phi(p)$。这个可以在快速幂的过程中判断，具体就是搞一个全区变量 $flag$，如果当前 $ans*a\ge p$ 的话，就把这个 $flag$ 记为 $1$。然后返回之后判一下，如果 $flag$ 是 $1$ 就加上一个 $\phi(p)$。

然而这样是三个 $log$ 的，不是很过得去。我们需要消掉一个 $log$。

这三个 $log$ 分别是线段树 $1$ 个 $log$，每个数暴力求 $1$ 个 $log$，快速幂 $1$ 个 $log$。

前面两个好像都不能优化，考虑把快速幂这个优化掉。

因为 $p$ 最大是 $10^8=10^4\times 10^4$，考虑分段打表。

每次求一个数$a^b$的时候把 $b$ 拆成 $b/10000*10000+b\%10000$，提前打出来 $a^1,a^2\dots a^{10000}$ 和 $a^{10000},a^{20000}\dots a^{10^8}$这么多数。然后快速幂的时候直接查表就好了。

Code

// luogu-judger-enable-o2

#pragma GCC optimize(2)

#include<set>

#include<map>

#include<cmath>

#include<queue>

#include<cctype>

#include<vector>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

using std::min;

using std::max;

using std::swap;

using std::vector;

const int N=50005;

typedef double db;

#define re register

typedef long long ll;

#define pb(A) push_back(A)

#define pii std::pair<int,int>

#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)

#define ls cur<<1

#define rs cur<<1|1

#define lss ls,l,mid,ql,qr

#define rss rs,mid+1,r,ql,qr

int n,m,p,c;

int phi[N],pos,flag;

pii d[40][10005],e[40][10005];

int val[N],sum[N<<2],tag[N<<2];

int getint(){

    int X=0,w=0;char ch=0;

    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();

    while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();

    if(w) return -X;else return X;

}

void pushup(int cur){

    sum[cur]=(sum[ls]+sum[rs])%phi[0];

    tag[cur]=min(tag[ls],tag[rs]);

}

void build(int cur,int l,int r){

    if(l==r){sum[cur]=val[l]%phi[0];return;}int mid=l+r>>1;

    build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);pushup(cur);

}

int Phi(re int x){

    int sq=sqrt(x),now=x;

    for(int i=2;i<=x and i<=sq;i++){

        if(x%i==0){

            now=now/i*(i-1);

            while(x%i==0) x/=i;

        }

    } if(x>1) now=now/x*(x-1);

    return now;

}

int ksm(int a,int b,int mod){

    re int ans=1;int bbb=0;

    while(b){

        if(b&1){

            if((ll)ans*a>=(ll)mod or bbb) flag=1;

            ans=(ll)ans*a%mod;

        }

        if((ll)a*a>=(ll)mod) bbb=1;

        a=(ll)a*a%mod;b>>=1;

    }  if(ans>=mod) flag=1;

    return ans%mod;

}

int calc(int x,int y){

    re int now=x;

    if(now>phi[y]) now=now%phi[y]+phi[y];

    for(re int i=y;i;i--){

        flag=0;int las=now;

        now=(ll)e[i-1][now/10000].first*d[i-1][now%10000].first%phi[i-1];

        flag=(e[i-1][las/10000].second)|(d[i-1][las%10000].second);

        if(flag and i!=1) now+=phi[i-1],flag=0;

    }

    return now%phi[0];

}

void modify(int cur,int l,int r,int ql,int qr){

    if(tag[cur]>=pos) return;

    if(l==r){

        ++tag[cur];

        sum[cur]=calc(val[l],tag[cur]);

        return;

    } int mid=l+r>>1;

    if(ql<=mid) modify(lss);

    if(mid<qr) modify(rss);

    pushup(cur);

}

int query(int cur,int l,int r,int ql,int qr){

    if(ql<=l and r<=qr) return sum[cur];

    int mid=l+r>>1,ans=0;

    if(ql<=mid) (ans+=query(lss))%=phi[0];

    if(mid<qr) (ans+=query(rss))%=phi[0];

    return ans;

}

signed main(){

    n=getint(),m=getint(),p=getint(),c=getint();

    phi[0]=p;while(p!=1) phi[++pos]=Phi(p),p=phi[pos];phi[++pos]=1;

    for(int i=0;i<10000;i++){

        for(int j=0;j<=pos;j++){

            flag=0;

            d[j][i].first=ksm(c,i,phi[j]);d[j][i].second=flag;

        }

    }

    for(int i=0;i<=10000;i++){

        for(int j=0;j<=pos;j++){

            flag=0;

            e[j][i].first=ksm(c,i*10000,phi[j]);e[j][i].second=flag;

        }

    }

    for(re int i=1;i<=n;i++) val[i]=getint();

    build(1,1,n);

    while(m--){

        if(getint()==0){

            int l=getint(),r=getint();

            modify(1,1,n,l,r);

        } else{

            int l=getint(),r=getint();

            printf("%d\n",query(1,1,n,l,r)%phi[0]);

        }

    } return 0;

}