bzoj 4869: [Shoi2017]相逢是问候 [扩展欧拉定理 线段树]

4869: [Shoi2017]相逢是问候

题意：一个序列，支持区间\(a_i \leftarrow c^{a_i}\)，区间求和。在模p意义下。

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类似于开根操作，每次取phi在log次后就不变了。

不互质怎么办？ 我才知道，

\[n^x \equiv n^{x \mod \varphi(p)\ +\ \varphi(p)} \pmod p,\ x \ge \varphi(p)
\]

不要求互质，只要求\(x \ge \varphi(p)\)

然后就很好做了...线段树维护每个点的操作次数和和，修改的时候每个点算一下，不变的区间不再更新。

有一个问题，必须把\(\varphi(1)=1\)也加进去。我想了好久好久...因为

\[0 < \varphi(1) ,结果为0\\
2^x \ge \varphi(1), 结果为1
\]

如果这个序列的数是0，再加一层之后和之前并不是不变的！

然后需要给快速幂加点特技...

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mid ((l+r)>>1)
#define lc x<<1
#define rc x<<1|1
#define lson lc, l, mid
#define rson rc, mid+1, r
const int N = 5e4+5;
inline int read() {
	char c=getchar(); int x=0,f=1;
	while(c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
	return x*f;
}

int n, Q, p, c, a[N], op, l, r, phi[100], m, mo;
int Phi(int n) {
	int m = sqrt(n), ans = n;
	for(int i=2; i<=m; i++) if(n % i == 0) {
		ans = ans / i * (i-1);
		while(n % i == 0) n /= i;
	}
	if(n > 1) ans = ans / n * (n-1);
	return ans;
}
int Pow(ll a, int b, ll mo, bool &flag) {
	ll ans = 1;
	bool big = 0;
	for(; b; b>>=1) {
		if(b&1) {
			ans = ans * a;
			flag |= big | (ans >= mo);
			ans %= mo;
		}
		a = a * a; if(a >= mo) big = 1, a %= mo;
	}
	return ans;
}

int cal(int x, int ci) {
	if(x >= phi[ci]) x = x % phi[ci] + phi[ci];// flag = 1;
	for(int i=ci-1; i>=0; i--) {
		bool flag = 0;
		x = Pow(c, x, phi[i], flag);
		if(flag) x += phi[i];
	}
	return x % phi[0];
}

namespace S {
	struct meow{int sum, ci;} t[N<<2];
	void merge(int x) {
		t[x].sum = (t[lc].sum + t[rc].sum) %mo;
		t[x].ci = min(t[lc].ci, t[rc].ci);
	}
	void build(int x, int l, int r) {
		if(l == r) t[x].sum = a[l];
		else {
			build(lson);
			build(rson);
			merge(x);
		}
	}
	void cat(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
		if(t[x].ci >= m) return;
		if(l == r) t[x].ci++, t[x].sum = cal(a[l], t[x].ci);
		else {
			if(ql <= mid) cat(lson, ql, qr);
			if(mid < qr)  cat(rson, ql, qr);
			merge(x);
		}
	}
	int que(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
		if(ql<=l && r<=qr) return t[x].sum;
		else {
			int ans = 0;
			if(ql <= mid) ans = (ans + que(lson, ql, qr)) %mo;
			if(mid < qr)  ans = (ans + que(rson, ql, qr)) %mo;
			return ans;
		}
	}
}

int main() {
	freopen("in", "r", stdin);
	n=read(); Q=read(); p=read(); c=read();
	for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = read();
	mo = phi[0] = p;
	while(p != 1) phi[++m] = p = Phi(p);
	phi[++m] = 1;
	S::build(1, 1, n);
	for(int i=1; i<=Q; i++) {
		op=read(); l=read(); r=read();
		if(!op) S::cat(1, 1, n, l, r);
		else printf("%d\n", S::que(1, 1, n, l, r));
	}
}