梯度下降法原理与python实现

梯度下降法（Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。
本文将从最优化问题谈起，回顾导数与梯度的概念，引出梯度下降的数据推导；概括三种梯度下降方法的优缺点，并用Python实现梯度下降（附源码）。

1 最优化问题

最优化问题是求解函数极值的问题，包括极大值和极小值。
微积分为我们求函数的极值提供了一个统一的思路：找函数的导数等于0的点，因为在极值点处，导数必定为0。这样，只要函数的可导的，我们就可以用这个万能的方法解决问题，幸运的是，在实际应用中我们遇到的函数基本上都是可导的。
机器学习之类的实际应用中，我们一般将最优化问题统一表述为求解函数的极小值问题，即:

\[min_xf(x)
\]

其中$x$称为优化变量，$f$称为目标函数。极大值问题可以转换成极小值问题来求解，只需要将目标函数加上负号即可：

\[min_x{-f(x)}
\]

2 导数与梯度

梯度是多元函数对各个自变量偏导数形成的向量。多元函数的梯度表示：

\[\nabla f(x) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T
\]

如果Hessian矩阵正定，函数有极小值；如果Hessian矩阵负定，函数有极大值；如果Hessian矩阵不定，则需要进一步讨论。
如果二阶导数大于0，函数有极小值；如果二阶导数小于0，函数有极大值；如果二阶导数等于0，情况不定。

问题：为何不直接求导，令导数等于零去求解？

直接求函数的导数，有的函数的导数方程组很难求解，比如下面的方程：

\[f(x,y) = x^5 + e^{x}{y}- y^3 + 10y^2 - 100\sin(xy)-2x^2
\]

3 梯度下降的推导过程

回顾一下泰勒展开式

\[f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
\]

多元函数$f(x)$在x处的泰勒展开：

\[f(x + \Delta x) = f(x) + f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x) \Delta x^2 + ...
\]

3.1 数学推导

目标是求多元函数$f(x)$的极小值。梯度下降法是通过不断迭代得到函数极小值，即如能保证$f(x +\Delta x)$比$f(x)$小，则不断迭代，最终能得到极小值。想象你在山顶往山脚走，如果每一步到的位置比之前的位置低，就能走到山脚。问题是像哪个方向走，能最快到山脚呢?

由泰勒展开式得:

\[f(x + \Delta x) - f(x) = (\nabla f(x))^T \Delta x + o(\Delta x)
\]

如果$\Delta x$足够小，可以忽略$o(\Delta x)$，则有：

\[f(x + \Delta x) - f(x) \approx (\nabla f(x))^T \Delta x
\]

于是只有：

\[(\nabla f(x))^T \Delta x < 0
\]

能使

\[f(x + \Delta x) < f(x)
\]

因为$\nabla f(x)$与$\Delta x$均为向量，于是有：

\[(\nabla f(x))^T \Delta x = \| \nabla f(x)\|\|\Delta x\|cos\theta
\]

其中，$\theta$是向量$\nabla f(x)$与$\Delta x$的夹角，$\| \nabla f(x)\|$与$\|\Delta x\|$是向量对应的模。可见只有当

\[cos\theta < 0
\]

才能使得

\[(\nabla f(x))^T \Delta x < 0
\]

又因

\[cos\theta \ge -1
\]

可见，只有当

\[cos\theta = -1
\]

即$\theta = \pi$时，函数数值降低最快。此时梯度和$\Delta x$反向，即夹角为180度。因此当向量$\Delta x$的模大小一定时，取

\[\Delta x = -\alpha \nabla f(x)
\]

即在梯度相反的方向函数值下降的最快。此时函数的下降值为：

只要梯度不为$0$，往梯度的反方向走函数值一定是下降的。直接用可能会有问题，因为$x+\Delta x$可能会超出$x$的邻域范围之外，此时是不能忽略泰勒展开中的二次及以上的项的，因此步伐不能太大。

一般设：

\[\Delta x = -\alpha \nabla f(x)
\]

其中$\alpha$为一个接近于$0$的正数，称为步长，由人工设定，用于保证$x+\Delta x$在x的邻域内，从而可以忽略泰勒展开中二次及更高的项，则有:

此时，$x$的迭代公式是：

\[x_{k+1} = x_k - \alpha \nabla f(x_k)
\]

只要没有到达梯度为$0$的点，则函数值会沿着序列$x_{k}$递减，最终会收敛到梯度为$0$的点，这就是梯度下降法。

迭代终止的条件是函数的梯度值为$0$（实际实现时是接近于$0$），此时认为已经达到极值点。注意我们找到的是梯度为$0$的点，这不一定就是极值点，后面会说明。

4 实现的细节

初始值的设定

一般的，对于不带约束条件的优化问题，我们可以将初始值设置为0，或者设置为随机数，对于神经网络的训练，一般设置为随机数，这对算法的收敛至关重要。
学习率的设定

学习率设置为多少，也是实现时需要考虑的问题。最简单的，我们可以将学习率设置为一个很小的正数，如0.001。另外，可以采用更复杂的策略，在迭代的过程中动态的调整学习率的值。比如前1万次迭代为0.001，接下来1万次迭代时设置为0.0001。

5 存在的问题

局部极小值
- 梯度下降可能在局部最小的点收敛。
鞍点
- 鞍点是指梯度为0，Hessian矩阵既不是正定也不是负定，即不定的点。如函数$x^2-y^2$在$(0,0)$点梯度为0，但显然不是局部最小的点，也不是全局最小的点。

6 三种梯度下降的实现

批量梯度下降法：Batch Gradient Descent，简称BGD。求解梯度的过程中用了全量数据。
- 全局最优解；易于并行实现。
- 计算代价大，数据量大时，训练过程慢。
随机梯度下降法：Stochastic Gradient Descent，简称SGD。依次选择单个样本计算梯度。
- 优点：训练速度快；
- 缺点：准确度下降，并不是全局最优；不易于并行实现。
小批量梯度下降法：Mini-batch Gradient Descent，简称MBGD。每次更新参数时使用b个样本。（b一般为10）。
- 两种方法的性能之间取得一个折中。

7 用梯度下降法求解多项式极值

7.1 题目

$argmin\frac{1}{2}[(x_{1}+x_{2}-4)^2 + (2x_{1}+3x_{2}-7)^2 + (4x_{1}+x_{2}-9)^2]$

7.2 python解题

以下只是为了演示计算过程，便于理解梯度下降，代码仅供参考。更好的代码我将在以后的文章中给出。

# 原函数

def argminf(x1, x2):

    r = ((x1+x2-4)**2 + (2*x1+3*x2 - 7)**2 + (4*x1+x2-9)**2)*0.5

    return r

# 全量计算一阶偏导的值

def deriv_x(x1, x2):

    r1 = (x1+x2-4) + (2*x1+3*x2-7)*2 + (4*x1+x2-9)*4

    r2 = (x1+x2-4) + (2*x1+3*x2-7)*3 + (4*x1+x2-9)

    return r1, r2

# 梯度下降算法

def gradient_decs(n):

    alpha = 0.01     # 学习率

    x1, x2 = 0, 0    # 初始值

    y1 = argminf(x1, x2)

    for i in range(n):

        deriv1, deriv2 = deriv_x(x1, x2)

        x1 = x1 - alpha * deriv1

        x2 = x2 - alpha * deriv2

        y2 = argminf(x1, x2)

        if y1 - y2 < 1e-6:

            return x1, x2, y2

        if y2 < y1:

            y1 = y2

    return x1, x2, y2

# 迭代1000次结果

gradient_decs(1000)

# (1.9987027392533656, 1.092923742270406, 0.4545566995437954)

参考文献

《机器学习与应用》
https://zh.wikipedia.org/wiki/梯度下降法