正定矩阵（definite matrix）

1. 基本定义

在线性规划中，一个对称的 n×n 的实值矩阵 M，如果满足对于任意的非零列向量 z，都有 zTMz>0.

更一般地，对于 n×n 的 Hermitian 矩阵（原矩阵=共轭转置，aij=a¯ji，或者 A=AT¯¯¯¯¯），对于任何的非零列向量 z，z⋆Mz>0；

2. 定理和推论

• 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：

  • A 的特征值全为正；
  • A 的各阶主子式都为正；

• 对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正；

3. 正定的几何意义

设 f(x,y) 是二元正定二次型，则 f(x,y)=c （c 为大于 0 的常数）的图形是以

3. 简单举例

• 单位矩阵 I 是正定矩阵，

  zTIz=∥z∥2

• 对于任何实可逆矩阵，ATA 是正定的，因为对任何非零列向量 z，都有 zTATAz=∥Az∥2，可逆矩阵保证了 Az≠0；