正定矩阵(Positive-definite Matrix)

原文链接

正定矩阵是自共轭矩阵的一种。正定矩阵类似复数中的正实数。定义：对于对称矩阵M，当且仅当存在任意向量x，都有

若上式大于等于零，则称M为半正定矩阵。正定矩阵记为M>0。

也被称为正定二次型

正定矩阵的判定

1、所有特征值为正数（根据谱定理，若条件成立，必然可以找到对角矩阵的D和正定矩阵P，使M=P^-1DP）；
2、所有的顺序主子式为正定；
3、Cholesky分解得到的矩阵，其主对角线上的元素全为正数；
4、矩阵有半双线性映射形式。

首先解释双线性映射。假设三个向量空间X, Y和Z，有Z = B(X, Y)。对于X或Y中的任意向量都有到Z的唯一映射。如果把X固定，Y中的元素就存在到Z的线性映射，反过来也一样。
所谓半双线性映射，就是它的两个参数一个是线性的，另一个是半线性的（或共轭线性）。如：

复数空间的内积都是半双线性的。
正定矩阵的性质
1、正定矩阵均可逆，且逆矩阵也为正定矩阵；
2、正定矩阵与正实数的乘积也为正定；
3、迹Tr(M)>0；
4、存在唯一的平方根矩阵B，使得：