P3306 [SDOI2013] 随机数生成器 题解

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题解

思路

由题目中可知：

\[\large x_i \equiv ax_{i-1}+b\pmod{p}
\]

可以得出：

\[\large t=x_{n+1} \equiv a^nx_1+b \sum_{i=0}^{n-1}a^i\pmod{p}
\]

其中 \(n+1\) 即所求的天数。

对于后面的那部分，我们联想到平方差公式和立方差公式：

\[\large
a^2-1=(a-1)(a+1) \\
a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)
\]

可以推广为：

\[\large a^n-1=(a-1)\sum_{i=0}^{n-1}a^i
\]

于是，我们将上式两边同时乘以 \(a-1\)：

\[\large (a-1)t\equiv (a-1)x_1a^n+b(a^n-1)\pmod{p}
\]

观察到该式可以变形为 BSGS 的标准形式：

\[\large a^n\equiv[(a-1)t+b][(a-1)x_1+b]^{-1}\pmod{p}
\]

这个式子看起来十分复杂，所以让我们换元，方便下文叙述。预备——换

令 \(c=(a-1)x_1+b\)，\(d=(a-1)t+b\)。

于是上式变为：

\[\large a^n\equiv c^{-1}d\pmod{p}
\]

可以用 BSGS 求解。

注意求出来的 \(n\) 要加一。

细节

这是本题的重要部分。

首先，当 \(x_1=t\) 时，第一天就读到了第 \(t\) 页，直接输出 \(1\)。

其次，当 \(a=0\) 时，从第二天开始每天都读第 \(b\) 页。如果 \(b=t\) 那么输出 \(2\)，否则输出 \(-1\)。

再其次，当 \(c\equiv0\pmod{p}\) 时，每天读的都是第 \(x_1\) 页。而既然能够走到这步，那么第一天就读不到第 \(t\) 页。因此输出 \(-1\)。

最后，当 \(a=1\) 时，代入式子可得：

\[\large t\equiv x_1+bn\pmod{p}
\]

使用 exgcd 求解。

关于求 \(c\) 的逆元，由于 \(p\) 是质数，且经过上述分类讨论，\(c\not\equiv0\pmod{p}\)，因此 \(c\) 与 \(p\) 一定互质。可以使用快速幂法和 exgcd 求解。

既然我们在讨论 \(a=1\) 时使用了 exgcd，那么使用 exgcd 更好。但是笔者一开始没讨论 \(\sout{a=1}\)，所以用的快速幂。

为什么 markdown 的分割线对 \(\sout{\LaTeX}\) 不生效

实现

上面说得差不多了。注意中间量开long long。

代码

快速幂和 exgcd：

int qpow(int x,int y,int p)
{
	int ret=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) ret=1ll*ret*x%p;
		x=1ll*x*x%p,y>>=1;
	}
	return ret;
}
int exgcd(int p,int q,int &x,int &y)
{
	if(!q)
	{
		x=1,y=0;
		return p;
	}
	int ret=exgcd(q,p%q,y,x);
	y-=(p/q)*x;
	return ret;
}

BSGS：

std::unordered_map<int,int> mp;
int BSGS(int a,int s,int p)
{
	mp.clear();
	int len=ceil(sqrt(p)),tmp=1;
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		mp[1ll*tmp*s%p]=i;
		tmp=1ll*tmp*a%p;
	}
	int base=1;
	for(int i=0;i<=len;i++)
	{
		if(mp.find(base)!=mp.end())
			if(1ll*i*len-mp[base]>=0)
				return 1ll*i*len-mp[base];
		base=1ll*base*tmp%p;
	}
	return -2;		//因为要+1
}

注意多测。

主体部分：

int p,a,b,x,t;
scanf("%d%d%d%d%d",&p,&a,&b,&x,&t);
if(x==t)
{
	printf("1\n");
	continue;
}
if(a==0)
{
	printf("%d\n",b==t?2:-1);
	continue;
}
if(a==1)
{
	int tmp=t-x;
	int tx,ty;
	int gcd=exgcd(b,p,tx,ty);
	if(tmp%gcd)
		printf("-1\n");
	else
		printf("%d\n",(1ll*tx*tmp/gcd%p+p)%p+1);
	continue;
}
int c=(1ll*(a-1)*x+b)%p,d=(1ll*(a-1)*t+b)%p;
if(!c)
{
	printf("-1\n");
	continue;
}
d=1ll*d*qpow(c,p-2,p)%p;
printf("%d\n",BSGS(a,d,p)+1);

---

\[\Huge End
\]