（转载）偏序集的Dilworth定理学习

导弹拦截是一个经典问题：求一个序列的最长不上升子序列，以及求能最少划分成几组不上升子序列。第一问是经典动态规划，第二问直接的方法是最小路径覆盖， 但是二分图匹配的复杂度较高，我们可以将其转化成求最长上升子序列，其最大值即等于不上升子序列的最小划分数。这就涉及到组合数学中偏序集的 Dilworth定理。（第二问的贪心方法其实就是这个定理的证明过程）

其中第一问和第二问都可以用o(nlogn)的算法解决：

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

int a[100],f[100],g[100];

int main(){

freopen("lmis.in","r",stdin);

freopen("lmis.out","w",stdout);

int n,i;

scanf("%d",&n);

memset(g,0x7f,sizeof(g));

memset(f,0,sizeof(f));

for(i=0;i<n;i++)

scanf("%d",&a[i++]);

for(i=0;i<n;i++){

int k=lower_bound(g+1,g+n,a[i])-g;

f[i]=k+1;

g[k+1]=a[i];

}

printf("%d\n",*max_element(f,f+n));

return 0;

}

附：memset(arr,0x7F,sizeof(arr)); //set int to 2139062143

memset(arr,0x80,sizeof(arr)); //set int to -2139062144
     memset(arr,0x7F,sizeof(arr)); //set double to 1.38242e+306
     memset(arr,0xFE,sizeof(arr)); //set double to -5.31401e+303

先介绍一下偏序关系：

偏序是在集合X上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”），它满足自反性、反对称性和传递性。即，对于X中的任意元素a,b和c，有:

自反性：a≤a;

反对称性：如果a≤b且b≤a，则有a=b;

传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c 。

带有偏序关系的集合称为偏序集。

令(X,≤)是一个偏序集，对于集合中的两个元素a、b，如果有a≤b或者b≤a，则称a和b是可比的，否则a和b不可比。

在X中，对于元素a，如果任意元素b，由b≤a得出b=a，则称a为极小元。

一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。

一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。

下面是两个重要定理：

定理1 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。

其对偶定理称为Dilworth定理：

定理2 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

虽然这两个定理内容相似，但第一个定理证明要简单一些。此处就只证明定理1。

证明：设p为最少反链个数

(1)先证明X不能划分成小于r个反链。由于r是最大链C的大小，C中任两个元素都可比，因此C中任两个元素都不能属于同一反链。所以p>=r。

(2) 设X1＝X，A1是X1中的极小元的集合。从X1中删除A1得到X2。注意到对于X2中任意元素a2，必存在X1中的元素a1，使得a1<=a2。 令A2是X2中极小元的集合，从X2中删除A2得到X3……最终，会有一个Xk非空而X(k+1)为空。于是A1,A2,…,Ak就是X的反链的划分，同 时存在链a1<=a2<=…<=ak，其中ai在Ai内。由于r是最长链大小，因此r>=k。由于X被划分成了k个反链，因此 r>=k>=p。因此r=p，定理1得证。

回过头来看导弹拦截第二问。我们定义偏序关系≤：a≤b表示a出现不迟于b且a的值不小于b的值。这个偏序集的最长反链即最长上升子序列，它的不上升子序列是偏序集的链。由Dilworth定理可知，不上升子序列的最小划分数＝最长上升子序列的长度。

p.s. 这里的贪心方法是，每次选出所有的在它前面没有大于或等于它的数作为一组。其实我们每次选的是偏序集的最小元，因此我们最终得到的答案就是上面的k。由r<=p及r>=k>=p可以得到r=k=p，因此贪心正确。

参考资料：《Introductory Combinatorics》Fourth Edition,Richard A. Brualdi

参考：http://www.608088.com/show-2730-1.html