USACO Section 1.3 Prime Cryptarithm 解题报告

题目

题目描述

牛式的定义，我们首先需要看下面这个算式结构：

      * * *
   x    * *
    -------
      * * *         <-- partial product 1
    * * *           <-- partial product 2
    -------
    * * * *

这是一个乘法结构，我们给出一个数字集合，例如{2,3,5,7}，如果我们能够集合里面的数字代替所有的*，使得这个乘法成立的话，那么这就是一个牛式。对于给出的集合，我们需要找出总共有多少个牛式。

数据范围

集合中的数字只能是从{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中挑选。

样例输入

第一行输入所给集合中元素个数，下一行写出集合中的元素

5

2 3 4 6 8

样例输出

1

解题思路

因为数据量不大，所以我直接用枚举的方式，产生每一个被乘数与乘数，然后判断是否它的所有位都是由集合中的元素组合的。枚举出所有的情况，然后统计符合条件的。

Tip: 我在编码实现的时候遇到一个问题，我在本地测试样例发现可以通过，输出是1，但是当我提交到USACO的判题系统上时，它给我的反馈是我的第一组样例输出为21，我总共提交了十几次，始终不知道是什么原因造成的。后来看了下官方的文档，发现有可能是数组越界...后来思考了很久，终于让我找到了代码的bug！总之，以后编码的时候一定要细心，这种小错误真的很浪费时间，如果真的在比赛中出现这种情况很有可能你就因此与奖牌失之交臂。

解题代码

/*
ID: yinzong2
PROG: crypt1
LANG: C++11
*/
#define MARK
#include<cstdio>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;

set<int> numSet;

int n, cnt;
int num[10];

bool test(int x, int length) {
    int a[10];//就是这个数组，最开始的时候我开小了，但是在本地样例可以过。
    int len = 0;
    while(x) {
        a[len++] = x%10;
        x /= 10;
    }
    if(len != length) return false;
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        if(numSet.find(a[i]) == numSet.end()) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

//产生乘数
void makeMultiplier(int multiplier, int cur, int multiplicand) {
    if(cur >= 2) {
        int firstMul = (multiplier%10) * multiplicand;
        if(test(firstMul, 3)) {//判断是否符条件，应该是一个3位数
            int secondMul = (multiplier/10) * multiplicand;
            if(test(secondMul, 3)) {//同上
                int sum = secondMul*10 + firstMul;
                if(test(sum, 4)) {//同上，最后的和是4位的
                    cnt++;
                }
            }
        }
        return ;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        multiplier += num[i];
        if(0 == cur) {
            multiplier *= 10;
        }
        makeMultiplier(multiplier, cur+1, multiplicand);
        //状态还原
        if(0 == cur) {
            multiplier /= 10;
        }
        multiplier -= num[i];
    }
}

//产生被乘数
void makeMultiplicand(int multiplicand, int cur) {
    if(cur >= 3) {
        makeMultiplier(0, 0, multiplicand);
        return ;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        multiplicand += num[i];
        if(cur < 2) {
            multiplicand *= 10;
        }
        makeMultiplicand(multiplicand, cur+1);
        //状态还原
        if(cur < 2) {
            multiplicand /= 10;
        }
        multiplicand -= num[i];
    }
}

int main() {
#ifdef MARK
    freopen("crypt1.in", "r", stdin);
    freopen("crypt1.out", "w", stdout);
#endif // MARK
    while(~scanf("%d", &n)) {
        numSet.clear();
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &num[i]);
            numSet.insert(num[i]);
        }
        cnt = 0;
        makeMultiplicand(0, 0);
        printf("%d\n", cnt);
    }
    return 0;
}

(2017.08.20增加该部分)上面这种写法其实不是很直接，很容易出错。我今天又重新写了一遍，我觉得代码应该以最符合直觉的状态呈现出来，这样就容易读，也容易写。虽然可能会稍微长一点，但是不会出错，基本一遍就能过。

/*
ID: yinzong2
PROG: crypt1
LANG: C++11
*/
#define MARK
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int n, cnt;
int collect[10], num1[5], num2[5], prod1[5], prod2[5], sum[5];

bool judge() {
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
        prod1[i] = num2[0]*num1[i];
        prod2[i] = num2[1]*num1[i];
    }
    prod1[3] = prod2[3] = 0;
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
        prod1[i+1] += (prod1[i]/10);
        prod1[i] = (prod1[i]%10);
        prod2[i+1] += (prod2[i]/10);
        prod2[i] = (prod2[i]%10);
    }
    if (prod1[3] != 0 || prod2[3] != 0) {
        return false;
    }
    sum[0] = prod1[0];
    for (int i = 1; i < 3; ++i) {
        sum[i] = prod1[i] + prod2[i-1];
    }
    sum[3] = prod2[2];
    sum[4] = 0;
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        sum[i+1] += (sum[i]/10);
        sum[i] = sum[i]%10;
    }
    if (sum[4] != 0) {
        return false;
    }
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
        bool flag = false;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (prod1[i] == collect[j]) {
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if (!flag) {
            return false;
        }
    }
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
        bool flag = false;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (prod2[i] == collect[j]) {
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if (!flag) {
            return false;
        }
    }
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        bool flag = false;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (sum[i] == collect[j]) {
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if (!flag) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void produce2(int cur) {
    if (cur == 2) {
        if (judge()) {
            cnt++;
        }
        return ;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        num2[cur] = collect[i];
        produce2(cur+1);
    }
}

void produce(int cur) {
    if (cur == 3) {
        produce2(0);
        return ;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        num1[cur] = collect[i];
        produce(cur+1);
    }
}

int main() {
#ifdef MARK
    freopen("crypt1.in", "r", stdin);
    freopen("crypt1.out", "w", stdout);
#endif // MARK
    while (cin>>n) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            cin >> collect[i];
        }
        cnt = 0;
        produce(0);
        cout << cnt << endl;
    }
    return 0;
}

解题思路(Type 2)

思路其实与上述保持一致，但是由于代码不简洁，在参考了大牛的代码之后，我准备重构一下代码。我们在枚举和判断的时候都可以写的更加优美，大牛毕竟是大牛。

解题代码(Type 2)

/*
ID: yinzong2
PROG: crypt1
LANG: C++11
*/
#define MARK
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>

using namespace std;

int n;
int numSet[10];
bool vis[10];

bool ok(int x) {
    while(x) {
        if(!vis[x%10]) return false;
        x /= 10;
    }
    return true;
}

bool test(int a, int b, int c, int d, int e) {
    int first = a*100 + b*10 + c;
    int mul1 = e * first;
    int mul2 = d * first;
    int sum = mul2 * 10 + mul1;
    if(mul1 < 100 || mul1 > 999) return false;
    if(mul2 < 100 || mul2 > 999) return false;
    if(sum < 1000 || sum > 9999) return false;
    return ok(mul1) && ok(mul2) && ok(sum);
}

int main() {
#ifdef MARK
    freopen("crypt1.in", "r", stdin);
    freopen("crypt1.out", "w", stdout);
#endif // MARK
    while(~scanf("%d", &n)) {
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &numSet[i]);
            vis[numSet[i]] = true;
        }
        int a,b,c,d,e;
        int cnt = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            a = numSet[i];
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                b = numSet[j];
                for(int k = 0; k < n; k++) {
                    c = numSet[k];
                    for(int p = 0; p < n; p++) {
                        d = numSet[p];
                        if((a*d) >= 10) continue;//会产生一个四位数，剪枝
                        for(int q = 0; q < n; q++) {
                            e = numSet[q];
                            if((a*e) >= 10) continue;//会产生一个四位数，剪枝
                            if(test(a,b,c,d,e)) {
                                cnt++;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n", cnt);
    }
    return 0;
}