AT2686 [ARC080A] 4-adjacent 题解

Content

给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\)，请将其重新排列，使得 \(\forall i\in[1,n-1]\)，都有 \(4\mid (a_i\cdot a_{i+1})\)，或者报告不存在。

数据范围：\(2\leqslant n\leqslant 10^5\)，\(1\leqslant a_i\leqslant 10^9\)。

Solution

简单的分类讨论题。

我们不妨在读入的时候统计出奇数的数量 \(\textit{cnt}_1\) 和 \(4\) 的倍数的数量 \(\textit{cnt}_2\)，然后：

i) 当 \(\textit{cnt}_1+\textit{cnt}_2\neq n\) 时，此时除了奇数和 \(4\) 的倍数以外，还有部分不是 \(4\) 的倍数的偶数，那么它们一定只可能是 \(2\) 的倍数而不可能是 \(2^k(k\geqslant 2)\) 的倍数。因此我们在这里考虑把这些数放到后面去，前面的留给奇数和 \(4\) 的倍数，以使得相邻两个数相乘得到 \(4\) 的倍数。

那么前面的奇数和 \(4\) 的倍数怎么放呢？我们可以考虑交叉放，即先放奇数再放 \(4\) 的倍数再放奇数……或者先放 \(4\) 的倍数再放奇数再放 \(4\) 的倍数……那么最优方案下先放哪个呢？不难发现如果先放奇数的话，最坏情况下当 \(\textit{cnt}_1=\textit{cnt}_2\) 时，是可以构造出合法的排列的。否则就不行。

因此，在 i) 的情况下，只需要满足 \(\textit{cnt}_1\leqslant\textit{cnt}_2\)，就能够构造出合法的排列。

ii) 当 \(\textit{cnt}_1+\textit{cnt}_2=n\) 时，此时最坏的情况无非就是 \(\textit{cnt}_1=\textit{cnt}_2+1\) 时，先全部放奇数，然后再在每两个奇数的中间放 \(4\) 的倍数，即可满足要求。

因此，在 ii) 的情况下，只需要满足 \(\textit{cnt}_1\leqslant\textit{cnt}_2+1\)，就能够构造出合法的序列。

根据其实际情况分类判断一下就可以了。

Code

int n, a[100007], cntodd, cntfour;

int main() {
	n = Rint;
	F(int, i, 1, n) {
		a[i] = Rint;
		if(a[i] % 2) cntodd++;
		else if(!(a[i] % 4)) cntfour++;
	}
	return cntodd <= cntfour || (cntodd + cntfour == n && cntodd - cntfour <= 1) ? Yes : No, 0;
}