【LG3240】[HNOI2015]实验比较

题面

洛谷

题解

30pts

爆搜即可。

100pts

题意描述里有一句："对每张图片\(i\)，小\(D\)都最多只记住了某一张质量不比\(i\)差的另一张图片\(K_i\)。"

即只有一个父亲，且\(m\leq n\),所以建树，容易想到树形\(dp\)，

对于"\(=\)"的，直接用并查集将之看成一个点，

对于"\(<\)"的，将小的连一条到大的点的边，

然后不一定是一棵树，可能是森林，所以建一个超级根节点连起来。

设\(f[u][i]\)表示以\(u\)为根，分成\(i\)段(即共有\(y-1\)个小于，每个小于两边所有图片质量相等)的方案数，

按照树形\(dp\)转移，则有

\[f[u][i]=\sum f'[u][j]\times f[v][k]\times num
\]

\(num\)表示将\(j\)段和\(k\)段合并的方案数，如何求呢？

设\(f[u]\)的质量序列为\(A\)，\(f'[u]\)的质量序列为\(B\)，\(f[v]\)的质量序列为\(C\)。

\(A\)中的每一段可以只包含\(B\)中的一段，可以只包含\(C\)中的一段，也可以有\(B\)和\(C\)中各一段合并而成，但不能为空。特殊地，\(A\)的第一段只能包含节点\(u\)。

因为\(f[u]\)与\(f'[u]\)都包含\(u\)那一段，所以相当于从\(i-1\)中选\(j-1\)个合并，方案数为\(C_{i-1}^{j-1}\)，

然后把\(C\)中的\(i-j\)段放到\(A\)中剩下的位置，使每一段都不为空。现在\(C\)中还剩下\(k-i+j\)个段，他们需要与\(B\)中的段合并，方案数为\(C_{j-1}^{k-i+j}\)。

\[\therefore num=C_{i-1}^{j-1}\times C_{j-1}^{k-i+j}
\]

然后

\[Ans=\sum f[n+1][i]
\]

最后复杂度为\(O(n^3)\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MAX_N = 105;
struct Graph { int to, next; } e[MAX_N << 1]; int fir[MAX_N], e_cnt;
void clearGraph() { memset(fir, -1, sizeof(fir)); e_cnt = 0; }
void Add_Edge(int u, int v) { e[e_cnt] = (Graph){v, fir[u]}; fir[u] = e_cnt++; }
int pa[MAX_N];
int getf(int x) { return pa[x] == x ? x : pa[x] = getf(pa[x]); }
int N, M, X[MAX_N], Y[MAX_N], cnt[MAX_N], C[MAX_N][MAX_N];
bool isroot[MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N], size[MAX_N];
void dfs(int x) {
	size[x] = f[x][1] = 1;
	for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
		int v = e[i].to; dfs(v);
		size[x] += size[v];
		for (int j = size[x]; j >= 1; j--) {
			int res = 0;
			for (int k = 1; k <= min(size[x] - size[v], j); k++)
				for (int l = max(1, j - k); l <= size[v]; l++)
					res = (res + 1ll * f[x][k] * f[v][l] % Mod
						   * C[j - 1][k - 1] % Mod
						   * C[k - 1][l - j + k] % Mod) % Mod;
			f[x][j] = res;
		}
	}
}
int main () {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cpp.in", "r", stdin);
#endif
	clearGraph();
	scanf("%d%d", &N, &M);
	C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N + 1; i++) C[i][0] = 1, C[i][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= N + 1; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % Mod;
	for (int i = 1; i <= N; i++) pa[i] = i;

	for (int i = 1; i <= M; i++) {
		char ch[5];
		scanf("%d%s%d", X + i, ch, Y + i);
		if (ch[0] == '=') pa[getf(Y[i])] = getf(X[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= M; i++) X[i] = getf(X[i]), Y[i] = getf(Y[i]);
	for (int i = 1; i <= M; i++) {
		if (X[i] == Y[i]) continue;
		if (getf(X[i]) != getf(Y[i])) {
			Add_Edge(X[i], Y[i]), cnt[Y[i]]++, isroot[X[i]] = 1;
			pa[getf(Y[i])] = getf(X[i]);
		} else return puts("0") & 0;
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++) if (isroot[i] && !cnt[i]) Add_Edge(N + 1, i);
	dfs(N + 1);
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= size[N + 1]; i++) ans = (ans + f[N + 1][i]) % Mod;
	printf("%d\n", ans);
    return 0;
}