2018.09.09 bzoj4403: 序列统计（Lucas定理）

传送门

感觉单调不降序列什么的不好做啊。

于是我们序列中下标为i的元素的值加上i，这样就构成了一个单调递增的序列。

问题就变成了：

求出构造长度分别为1 ~ n且每个元素的值在l+1 ~ r+n之间的单调递增的序列的总方案数。

那么对于一个长度为i的序列，构造出的方案数显然就是(r−l+ii)=(r−l+ir−l)\binom {r-l+i} {i}=\binom {r-l+i} {r-l}(ir−l+i​)=(r−lr−l+i​)

所以答案就是：

∑i=1n(r−l+ir−l)\sum _{i=1} ^n \binom {r-l+i} {r-l}∑i=1n​(r−lr−l+i​)

<=>

(∑i=1n(r−l+ir−l))+(r−l+1r−l+1)−1(\sum _{i=1} ^n \binom {r-l+i} {r-l})+\binom {r-l+1} {r-l+1} -1(∑i=1n​(r−lr−l+i​))+(r−l+1r−l+1​)−1

<=>

(∑i=2n(r−l+ir−l))+(r−l+2r−l+1)−1(\sum _{i=2} ^n \binom {r-l+i} {r-l})+\binom {r-l+2} {r-l+1} -1(∑i=2n​(r−lr−l+i​))+(r−l+1r−l+2​)−1

<=>

((r−l+nr−l))+(r−l+nr−l+1)−1(\binom {r-l+n} {r-l})+\binom {r-l+n} {r-l+1} -1((r−lr−l+n​))+(r−l+1r−l+n​)−1

<=>

((r−l+nr−l))+(r−l+nr−l+1)−1(\binom {r-l+n} {r-l})+\binom {r-l+n} {r-l+1} -1((r−lr−l+n​))+(r−l+1r−l+n​)−1

<=>

(r−l+n+1r−l+1)−1\binom {r-l+n+1} {r-l+1}-1(r−l+1r−l+n+1​)−1

然后就可以上lucas了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000003
#define ll long long
using namespace std;
int T_T;
ll n,l,r,fac[mod+5],ifac[mod+5];
inline ll lucas(ll a,ll b){
	if(a<b)return 0;
	if(a<mod&&b<mod)return fac[a]*ifac[b]%mod*ifac[a-b]%mod;
	return lucas(a%mod,b%mod)*lucas(a/mod,b/mod)%mod;
}
int main(){
	scanf("%d",&T_T),fac[0]=1,ifac[1]=ifac[0]=1;
	for(ll i=1;i<mod;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for(ll i=2;i<mod;++i)ifac[i]=(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
	for(ll i=2;i<mod;++i)(ifac[i]*=ifac[i-1])%=mod;
	while(T_T--)scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r),printf("%lld\n",(lucas(n+r-l+1,r-l+1)+mod-1)%mod);
	return 0;
}