hdu6546 Function

Function

\(\text{Alice}\) 有 \(n\) 个二次函数 \(F_i(x)=a_ix^2+b_ix+c_i(i \in [1,n])\)。

现在他想在 \(\sum_{i=1}^{n}{x_i=m}\) 且 \(x\) 为正整数的条件下求 \(\sum_{i=1}^n{F_i(x_i)}\) 的最小值。

请求出这个最小值。

Input

第一行两个正整数\(n，m。\)

下面\(n\)行，每行三个整数\(a，b，c，\)分别代表二次函数的二次项，一次项，常数项系数。

Output

一行一个整数表示答案。

Sample Input

2 3

1 1 1

2 2 2

Sample Output

13

Data range

对于全部测试数据满足：

• \(a_i\in[1,10^3]\)
• \(b_i,c_i\in[-10^3,10^3]\)
• \(n\leq m\)

测试点编号	\(m\)
1 ~ 2	\(\leqslant 10\)
3 ~ 4	\(\leqslant 100\)
5 ~ 6	\(\leqslant 500\)
7 ~ 10	\(\leqslant 5 \times 10^3\)
11 ~ 20	\(\leqslant 10^5\)

思路：

先给每个函数的\(x\)赋为\(1\),再把\(f_i(x_i+1)-f_i(x_i)\)与\(i\)存入优先队列，按\(\Delta f_i\)进行\(x_i+1\)的操作\(,\)再把\(f_i(x_i+1)-f_i(x_i)\)与\(i\)塞回优先队列\(,\)重复\(m-n\)次

证明：

\(\because f^{'}_i(x)=2a_i+b_i\And a_i \geq 1\)

\(\therefore \Delta f_i\)随\(x_i+1\)操作单调增加

又\(\because\)要求\(\sum_{i=1}^nf_i(x_i)\)最小

\(\therefore\)最小的\(\Delta f_i\)一定要执行\(x_i+1\)操作

\(\mathfrak{Talk\ is\ cheap,show\ you\ the\ code.}\)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define Type template<typename T>
# define read read1<ll>()
Type inline T read1()
{
    T t=0;
    char k;
    bool fl=0;
    do k=getchar(),(k=='-')&&(fl=1);while('0'>k||k>'9');
    while('0'<=k&&k<='9')t=(t<<3)+(t<<1)+(k^'0'),k=getchar();
    return fl?-t:t;
}
# define A pair<ll,int>
# define ll long long
priority_queue<A,vector<A>,greater<A> >q;
int s,nx[100001],m;
ll a[100001],b[100001],c[100001],ans;
ll f(ll x,int n){return a[n]*x*x+b[n]*x+c[n];}
int main()
{
    freopen("function.in","r",stdin);
    freopen("function.out","w",stdout);
    s=read;m=read-s;
    for(int i=0;i++^s;nx[i]=1)
    {
        a[i]=read,b[i]=read,c[i]=read;
        q.push(A(f(2,i)-f(1,i),i));
        ans+=f(1,i);
    }
    while(m--)
    {
        A tem=q.top();
        q.pop();
        ans+=tem.first;
        ++nx[tem.second];
        tem.first=f(nx[tem.second]+1,tem.second)-f(nx[tem.second],tem.second);
        q.push(tem);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}