洛谷——P2420 让我们异或吧

P2420 让我们异或吧

题目描述

异或是一种神奇的运算,大部分人把它总结成不进位加法.

在生活中…xor运算也很常见。比如，对于一个问题的回答，是为1，否为0.那么：

（A是否是男生 ）xor（ B是否是男生）＝A和B是否能够成为情侣

好了，现在我们来制造和处理一些复杂的情况。比如我们将给出一颗树，它很高兴自己有N个结点。树的每条边上有一个权值。我们要进行M次询问，对于每次询问，我们想知道某两点之间的路径上所有边权的异或值。

维护父节点的同时维护抑或值

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

#define N 1010100
using namespace std;

int n,m,head[N],tot;
struct nodE {
    int to,next,w;
} e[N];

void add(int u,int v,int w) {
    e[++tot].to=v,e[tot].next=head[u],head[u]=tot,e[tot].w=w;
}

int p[N][],f[N][],dep[N];
void dfs(int u,int fa,int w) {
    dep[u]=dep[fa]+,f[u][]=fa,p[u][]=w;
    for(int i=; (<<i)<=dep[u]; i++)
        f[u][i]=f[f[u][i-]][i-],p[u][i]=p[u][i-]^p[f[u][i-]][i-];
    for(int i=head[u]; i; i=e[i].next) {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u,e[i].w);
    }
}

int lca(int u,int v) {
    int an=;
    if(dep[u]>=dep[v]) swap(u,v);
    for(int i=; i>=; i--) {
        if(dep[u]<=dep[v]-(<<i)) {
            if(!an) an=p[v][i];
            else an^=p[v][i];
            v=f[v][i];
        }
    }
    if(u==v) return an;
    for(int i=; i>=; i--) {
        if(f[u][i]!=f[v][i]) {
            if(!an) an=p[v][i]^p[u][i];
            else an^=p[v][i],an^=p[u][i];
            u=f[u][i],v=f[v][i];
        }
    }
    if(v==) return an^p[u][];
    else if(u==) return an^p[v][];
    return an^p[u][]^p[v][];
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int u,v,w,i=; i<n; i++) {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w),add(v,u,w);
    }
    dfs(,,);
    scanf("%d",&m);
    for(int u,v,i=; i<=m; i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        printf("%d\n",lca(u,v));
    }

    return ;
}

普及一下有关抑或的知识：

抑或： $0^0=0,1^1=0,1^0=1,0^1=1$

观察发现只有二进制位相同时，那一位的抑或值才为真

抑或的几个常用性质：

1.交换律：$a\^b=b\^a$ 显然

2.结合律：$a\^b\^c=a\^(b\^c)$ 显然

3.抑或自己 $a\^a=0$ 显然

4.抑或0 $a\^0=a$ 显然

设$dis[u]$为节点1到$u$所经过路径上的抑或值

那么本题要求就是$(dis[u]^dis[lca(u,v)])^(dis[v]^dis[lca(u,v)])$

因为抑或自己为0，而抑或0为自己，那么1到点u再抑或1到点$lca(u,v)$，就相当于点u抑或了$lca(u,v)$

毫无疑问，抑或满足结合律$(dis[u]^dis[v])^(dis[lca(u,v)]^dis[lca(u,v)])$

由性质3，4得出$ans=dis[u]^dis[v]$

极其简短的代码以及神奇的性质：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

#define N 1010100
using namespace std;

int n,m,head[N],tot;
struct nodE {
    int to,next,w;
} e[N];

void add(int u,int v,int w) {
    e[++tot].to=v,e[tot].next=head[u],head[u]=tot,e[tot].w=w;
}

int dis[N];
void dfs(int u,int fa,int Xor){
    dis[u]=Xor;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v!=fa) dfs(v,u,Xor^e[i].w);
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int u,v,w,i=; i<n; i++) {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w),add(v,u,w);
    }
    dfs(,,);
    scanf("%d",&m);
    for(int u,v,i=; i<=m; i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        printf("%d\n",dis[u]^dis[v]);
    }

    return ;
}