Codeforces917C. Pollywog

$n \leq 1e8$个石头，$x \leq 8$个蝌蚪一开始在最左边$x$个石子，要跳到最右的$x$个，每次只能最左边的蝌蚪跳一次，一个石头不能站两个蝌蚪，跳可以跳$1到k,x \leq k \leq 8$步，跳$i$步的代价是$cost_i$，还有$q \leq 25$个神奇石头，跳上去代价会$+w_i$，$w_i$可能为负数。问完成跳跃的最小代价。

不知道跳蝌蚪是什么操作只听过跳蛤，大概是变相膜？

好的严肃。从小数字$x$和$k$入手。由于每次只有最左的蝌蚪会跳，所以这$x$个蝌蚪一定每时每刻都在某连续的$k$个石头上。记这$k$个石头最左的那个（不一定上面有蝌蚪）为$i$，那么$i$处右边$k$个石子上的蝌蚪状态可以用二进制表示，最多是$C_8^4=70$个状态，挺小。这样就可以做转移了，转移复杂度是$C_k^x*k$，再乘个$n$直接爆炸。不过我们来看这个转移，$dp(i,j)=dp(i-1,k)+cost_t$，想到啥了？走若干步的最短路！这是可以用矩乘优化的，于是在不考虑$q$时，可以做$log_2n*(C_k^x)^3$的$dp$。

然后来看$q$。一块神奇石头影响了$k$块地(di)的(de)转移，因此最多会有$q*k$块地受影响，挺小，矩乘到这些地段时停住，暴力转移。最终复杂度$log_2n*(C_k^x)^3+qk^2C_k^x$。

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 #include<cstdio>
 //#include<map>
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 //#include<time.h>
 //#include<complex>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 int X,K,n,m,q;
 #define LL long long
 const LL inf=1e18;
 struct Mat
 {
     LL a[][];
     Mat() {for (int i=;i<=;i++) for (int j=;j<=;j++) a[i][j]=inf;}
     Mat operator * (const Mat &b)
     {
         Mat ans;
         for (int k=;k<=m;k++)
             for (int i=;i<=m;i++)
                 for (int j=;j<=m;j++)
                     ans.a[i][j]=min(ans.a[i][j],a[i][k]+b.a[k][j]);
         return ans;
     }
 }base,f;

 Mat pow(Mat a,int b)
 {
     Mat ans,tmp=a; for (int i=;i<=m;i++) ans.a[i][i]=;
     while (b)
     {
         if (b&) ans=ans*tmp;
         tmp=tmp*tmp; b>>=;
     }
     return ans;
 }

 int state[],ls,who[];
 struct Ran{int l,r;}qq[],ran[]; int len;
 LL g[],h[];int cost[];
 struct Block{int pos,w;}ww[];
 bool cmpww(const Block &a,const Block &b) {return a.pos<b.pos;}
 struct Hash
 {
     int first[],le; struct Edge{int to,v,next;}edge[];
     Hash() {le=;}
     void insert(int x,int y) {int h=x%; Edge &e=edge[le]; e.to=x; e.v=y; e.next=first[h]; first[h]=le++;}
     int find(int x) {int h=x%; for (int i=first[h];i;i=edge[i].next) if (edge[i].to==x) return edge[i].v; return -2e9;}
 }ha;

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d%d",&X,&K,&n,&q);
     for (int i=;i<=K;i++) scanf("%d",&cost[i]);
     for (int i=;i<=q;i++) scanf("%d%d",&ww[i].pos,&ww[i].w); sort(ww+,ww++q,cmpww);
     LL ans=; for (int &i=q;i;i--) if (ww[i].pos>=n-X+) ans+=ww[i].w; else break;
     for (int i=;i<=q;i++) ha.insert(ww[i].pos,ww[i].w);
     for (int i=;i<=q;i++) qq[i].l=max(ww[i].pos-K,),qq[i].r=ww[i].pos;
     len=; for (int i=;i<=q;i++)
     {
         if (len && qq[i].l<=ran[len].r+) ran[len].r=qq[i].r;
         else len++,ran[len].l=qq[i].l,ran[len].r=qq[i].r;
     }
     ls=; for (int i=;i<(<<K);i++)
     {
         int cnt=;
         for (int j=;j<K;j++) if ((i>>j)&) cnt++;
         if (cnt==X) ls++,state[i]=ls,who[ls]=i;
     } m=ls;
     for (int i=;i<=ls;i++)
     {
         int s=who[i]>>;
         if ((who[i]&)==) base.a[i][state[s]]=;
         else for (int j=;j<=K;j++) if (((s>>(j-))&)==) base.a[i][state[s|(<<(j-))]]=cost[j];
     }
     f.a[][]=; ran[].r=;
     for (int i=;i<=len;i++)
     {
         f=f*pow(base,ran[i].l-ran[i-].r-);
         for (int j=;j<=ls;j++) g[j]=f.a[][j];
         for (int j=ran[i].l;j<=ran[i].r;j++)
         {
             for (int k=;k<=ls;k++) h[k]=inf;
             for (int k=;k<=ls;k++)
             {
                 int s=who[k]>>;
                 if ((who[k]&)==) h[state[s]]=min(h[state[s]],g[k]);
                 else for (int l=,tmp;l<=K;l++) if (((s>>(l-))&)==)
                 {
                     int ns=s|(<<(l-));
                     if ((tmp=ha.find(j+l-))!=-2e9) h[state[ns]]=min(h[state[ns]],g[k]+cost[l]+tmp);
                     else h[state[ns]]=min(h[state[ns]],g[k]+cost[l]);
                 }
             }
             for (int k=;k<=ls;k++) g[k]=h[k];
         }
         for (int j=;j<=ls;j++) f.a[][j]=g[j];
     }
     f=f*pow(base,n-X+-ran[len].r);
     printf("%lld\n",ans+f.a[][]);
     return ;
 }