Codeforces 917C - Pollywog（状压 dp+矩阵优化）

UPD 2021.4.9：修了个 typo，为啥写题解老出现 typo 啊（

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这是一道 *2900 的 D1C，不过还是被我想出来了

u1s1 大概是这题用到的几个套路我都见过罢

首先注意到 \(k\) 很小，故考虑状压 \(dp\)，\(dp_{i,s}\) 表示当前所有 pollywog 都在编号 \([i-k+1,i]\) 范围内的石头上，并且有且仅有编号 \(i-x+1,x\in s\) 的石头上有 pollywog。

转移还是比较显然的，如果 \(k\in s\)，那么我们必须强制让这个当前位于 \(i-k+1\) 位置的 pollywog 跳 \(k\) 步，否则我们可以枚举一个青蛙并让它跳到编号为 \(i+1\) 的石头上，或者干脆 \(i+1\) 位置上不放 pollywog，也就是说：

• \(dp_{i+1,s'}\leftarrow dp_{i,s}+c_k+a_{i+1},s'=\{x+1|x\in s\land x\ne k\}\cup\{1\}(k\in s)\)
• \(dp_{i+1,s'}\leftarrow dp_{i,s}+c_d+a_{i+1},s'=\{x+1|x\in s\land x\ne d\}\cup\{1\}(k\notin s,d\in s)\)
• \(dp_{i+1,s'}\leftarrow dp_{i,s}+c_k,s'=\{x+1|x\in s\}(k\notin s)\)

其中 \(c_i\) 为跳 \(i\) 格所需消耗的体力，\(a_i\) 为 \(i\) 所在的特殊格所额外消耗的体力（如果 \(i\) 不是特殊格则 \(a_i=0\)）。

初始 \(dp_{x,\{1,2,\dots,x\}}=0\)，答案为 \(dp_{n,\{1,2,\dots,x\}}\)。

考虑优化，注意到这个 \(n\) 很大但是这个转移呈规律性。故考虑矩阵优化 \(dp\)，我们把转移方程用矩阵的形式表示出来，即我们总能找到一个矩阵 \(A\) 使得 \(A\times\begin{bmatrix}dp_{i,0}\\dp_{i,1}\\\dots\\dp_{i,2^k-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}dp_{i+1,0}\\dp_{i+1,1}\\\dots\\dp_{i+1,2^k-1}\end{bmatrix}\)（其中两个大小分别为 \(n\times m,m\times k\) 的矩阵 \(A,B\) 乘法得到的矩阵 \(C\) 为 \(n\times k\) 的矩阵，且 \(C_{i,j}=\min\limits_{l=1}^mA_{i,l}+B_{l,j}\)）。那么如果没有什么特殊格子的限制的话，直接一遍矩阵快速幂就行了。

接下来考虑有特殊格子的情况，我们按照 CF576D 的套路将所有特殊格子按坐标排个序，显然一个特殊格子 \((x,y)\) 对 \(dp\) 值产生的影响就是令 \(\forall 1\in S,dp_{x,S}\leftarrow dp_{x,S}+y\)。故可以直接矩阵快速幂求出 \(dp_x\)，然后就直接在 \(dp_x\) 上修改贡献即可。

这个算法的复杂度 \(\omega^3p\log n\) 的，其中 \(\omega=2^k\)，无法通过。

考虑优化，注意到这个转移矩阵 \(A\) 是不会发生变化的，故考虑借鉴 P6772 的套路，而我们矩阵快速幂求出 \(dp_x\) 实质上是矩阵乘向量，单次乘法复杂度为 \(\omega^2\)，故考虑预处理出 \(A^{2^k}\)，这样可实现 \(\omega^3\log n\) 预处理，\(\omega^2p\log n\) 矩阵快速幂。

可是这样还是会炸啊……

这里还有第三个套路，就是对于合法的 \(dp_{i,S}\) 一定有 \(|S|=x\)，故合法的状态最多 \(\binom{8}{4}=70\) 种，于是可以把所有合法的状态压缩成一个 \([1,70]\) 内的整数，这样矩阵大小就降到了 \(70\) 了。

时间复杂度 \(\omega^3\log n+\omega^2p\log n+\log p\)，目前最优解 rk1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int MAXK=8;
const int MAXP=25;
const int MAX_SIZ=70;
const int LOG_N=28;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
int x,k,n,p,c[MAXK+2];pii t[MAXP+2];
int st[MAX_SIZ+5],st_n=0,id[1<<MAXK];
struct mat{
	int n,m;ll a[MAX_SIZ+5][MAX_SIZ+5];
	mat(){}
	mat(int _n,int _m){
		n=_n;m=_m;
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
			a[i][j]=INF;
	}
	mat operator *(const mat &rhs){
		assert(m==rhs.n);mat res(n,rhs.m);
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=rhs.m;j++)
			for(int l=1;l<=m;l++) chkmin(res.a[i][j],a[i][l]+rhs.a[l][j]);
		return res;
	}
};
mat pw[LOG_N+2];
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&x,&k,&n,&p);
	for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<=p;i++) scanf("%d%d",&t[i].fi,&t[i].se);
	sort(t+1,t+p+1);
	for(int i=0;i<(1<<k);i++) if(__builtin_popcount(i)==x){
		st[++st_n]=i;id[i]=st_n;//printf("%d\n",i);
	} mat trs(st_n,st_n);
	for(int i=1;i<=st_n;i++){
		if(st[i]>>(k-1)&1){
			trs.a[id[((st[i]^(1<<(k-1)))<<1)|1]][i]=c[k];
		} else {
			for(int j=0;j<k;j++) if(st[i]>>j&1)
				trs.a[id[((st[i]^(1<<j))<<1)|1]][i]=c[j+1];
			trs.a[id[st[i]<<1]][i]=0;
		}
	}
//	for(int i=1;i<=st_n;i++) for(int j=1;j<=st_n;j++)
//		printf("%lld%c",trs.a[i][j],(j==st_n)?'\n':' ');
	pw[0]=trs;
	for(int i=1;i<=LOG_N;i++) pw[i]=pw[i-1]*pw[i-1];
	int pre=x,init_msk=0;mat cur(st_n,1);
	for(int i=0;i<x;i++) init_msk|=1<<i;
	cur.a[id[init_msk]][1]=0;
	for(int i=1;i<=p;i++){
		int dif=t[i].fi-pre;
		for(int j=LOG_N;~j;j--) if(dif>>j&1) cur=pw[j]*cur;
		for(int j=1;j<=st_n;j++) if(st[j]&1) cur.a[j][1]+=t[i].se;
		pre=t[i].fi;
	}
	int dif=n-pre;
	for(int j=LOG_N;~j;j--) if(dif>>j&1) cur=pw[j]*cur;
	printf("%lld\n",cur.a[id[init_msk]][1]);
//	for(int i=1;i<=st_n;i++) printf("%d %lld\n",st[i],cur.a[i][1]);
	return 0;
}