【BZOJ】3572: [Hnoi2014]世界树 虚树+倍增

【题意】给定n个点的树，m次询问，每次给定ki个特殊点，一个点会被最近的特殊点控制，询问每个特殊点控制多少点。n,m,Σki<=300000。

【算法】虚树+倍增

【题解】★参考：thy_asdf

对询问建立虚树，然后DFS统计虚树上每个点被哪个点控制，记为belong[x]。

统计的方法是从下往上DFS得到x来自x子树的控制点，再从上往下DFS得到x来自非x子树的控制点。

令D(x,y)表示点x和点y之间的路径长度，比较x的不同控制点y的方式是取D(x,y)的最小值（相同时比较编号）。

依此考虑虚树上的每一条边(x,y)，记z为同时是x的儿子和y的祖先的点，令f[x]表示点x的答案。

如果belong[x]=belong[y]，那么f[belong[x]]+=size[z]-size[y]

否则，从y倍增找到分界点mid，满足mid及以下由y控制，mid以上由x控制。

倍增过程中，记A=D(belong[x],mid),B=D(belong[x],mid)，当满足A>B或A=B&&belong[x]>belong[y]时进行倍增。

找到分界点mid后，f[belong[x]]+=size[x]-size[m]，f[belong[y]+=size[m]-size[y]。

最后要处理没有出现在虚树路径上的点（包括虚树节点），这些点没有在上述过程中被统计。

记rem[x]表示子树x中未被统计的节点数，初始rem[x]=size[x]，特别的rem[a[1]]=n（a[1]是虚树最高节点，n是原树总点数，这样是为了保存a[1]往上延伸的节点）

每次处理完边(x,y)，rem[x]-=size[z]。

全部做完后，对虚树的每个点f[belong[x]]+=rem[x]。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
    int s=,t=;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
    do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
const int maxn=;
int n,N,size[maxn],in[maxn],ou[maxn],f[maxn],a[maxn*],b[maxn];
int deep[maxn],tot,first[maxn],belong[maxn],st[maxn];
int rem[maxn];
bool v[maxn];
namespace cyc{
    int first[maxn],tot,dfsnum=,f[maxn][];
    struct edge{int v,from;}e[maxn*];
    void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
    void dfs(int x,int fa){
        in[x]=++dfsnum;size[x]=;
        for(int j=;(<<j)<=deep[x];j++)f[x][j]=f[f[x][j-]][j-];
        for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
            deep[e[i].v]=deep[x]+;
            f[e[i].v][]=x;
            dfs(e[i].v,x);
            size[x]+=size[e[i].v];
        }
        ou[x]=dfsnum;
    }
    int lca(int x,int y){
        if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
        int d=deep[x]-deep[y];
        for(int j=;j<=;j++)if(d&(<<j))x=f[x][j];
        if(x==y)return x;
        for(int j=;j>=;j--)if((<<j)<=deep[x]&&f[x][j]!=f[y][j]){
            x=f[x][j];y=f[y][j];
        }
        return f[x][];
    }
    void build(){
        n=read();
        for(int i=;i<n;i++){
            int u=read(),v=read();
            insert(u,v);insert(v,u);
        }
        dfs(,-);
    }
}
int D(int x,int y){if(!y)return 0x3f3f3f3f;else return deep[x]+deep[y]-*deep[cyc::lca(x,y)];}
bool cmp(int a,int b){return in[a]<in[b];}
bool check(int x,int y){return in[x]<=in[y]&&ou[y]<=ou[x];}
struct edge{int u,v,from;}e[maxn*];
void insert(int u,int v){tot++;e[tot].u=u;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
void dfs1(int x){
    if(v[x])belong[x]=x;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from){
        dfs1(e[i].v);
        int A=D(x,belong[x]),B=D(x,belong[e[i].v]);
        if(B<A||(B==A&&belong[e[i].v]<belong[x]))belong[x]=belong[e[i].v];
    }
}
void dfs2(int x){
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from){
        int A=D(e[i].v,belong[x]),B=D(e[i].v,belong[e[i].v]);
        if(A<B||(A==B&&belong[x]<belong[e[i].v]))belong[e[i].v]=belong[x];
        dfs2(e[i].v);
    }
}
void solve(int x,int y){
    int z=y;
    for(int i=;i>=;i--)if((<<i)<=deep[z]&&deep[cyc::f[z][i]]>=deep[x]+)z=cyc::f[z][i];
    rem[x]-=size[z];
    if(belong[x]==belong[y]){f[belong[x]]+=size[z]-size[y];return;}//
    int m=y;
    for(int i=;i>=;i--)if((<<i)<=deep[m]){
        if(deep[cyc::f[m][i]]<deep[x])continue;
        int A=D(cyc::f[m][i],belong[x]),B=D(cyc::f[m][i],belong[y]);
        if(B<A||(A==B&&belong[x]>belong[y]))m=cyc::f[m][i];//
    }
    f[belong[x]]+=size[z]-size[m];
    f[belong[y]]+=size[m]-size[y];
}
void work(){
    int last=read();N=last;
    for(int i=;i<=N;i++)a[i]=read(),f[b[i]=a[i]]=,v[a[i]]=;
    sort(a+,a+N+,cmp);
    for(int i=;i<last;i++)a[++N]=cyc::lca(a[i],a[i+]);
    sort(a+,a+N+,cmp);
    N=unique(a+,a+N+)-a-;
    tot=;
    for(int i=;i<=N;i++)first[a[i]]=,belong[a[i]]=,rem[a[i]]=size[a[i]];
    rem[a[]]=n;
    int top=;
    for(int i=;i<=N;i++){
        while(top&&!check(st[top],a[i]))top--;
        if(top)insert(st[top],a[i]);
        st[++top]=a[i];
    }
    dfs1(a[]);dfs2(a[]);
    for(int i=;i<=tot;i++)solve(e[i].u,e[i].v);
    for(int i=;i<=N;i++)f[belong[a[i]]]+=rem[a[i]];
    for(int i=;i<=last;i++)printf("%d ",f[b[i]]),v[b[i]]=;
}
int main(){
    cyc::build();
    int m=read();
    while(m--)work();
    return ;
}

（倍增求LCA）

注意，由于多次调用LCA，所以用倍增LCA算法有很大的常数，甚至在LOJ会导致TLE。

但是倍增求LCA会使过程更简洁。

下面这份代码是树链剖分求LCA，代码可读性不高。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
    int s=,t=;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
    do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
const int maxn=;
int n,N,size[maxn],in[maxn],ou[maxn],f[maxn],a[maxn*],b[maxn];
int deep[maxn],tot,first[maxn],belong[maxn],st[maxn];
int rem[maxn];
bool v[maxn];
namespace cyc{
    int first[maxn],tot,dfsnum=,f[maxn][];
    struct edge{int v,from;}e[maxn*];
    void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
    void dfs(int x,int fa){
        in[x]=++dfsnum;size[x]=;
        for(int j=;(<<j)<=deep[x];j++)f[x][j]=f[f[x][j-]][j-];
        for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
            deep[e[i].v]=deep[x]+;
            f[e[i].v][]=x;
            dfs(e[i].v,x);
            size[x]+=size[e[i].v];
        }
        ou[x]=dfsnum;
    }
    int lca(int x,int y){
        if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
        int d=deep[x]-deep[y];
        for(int j=;j<=;j++)if(d&(<<j))x=f[x][j];
        if(x==y)return x;
        for(int j=;j>=;j--)if((<<j)<=deep[x]&&f[x][j]!=f[y][j]){
            x=f[x][j];y=f[y][j];
        }
        return f[x][];
    }
    void build(){
        n=read();
        for(int i=;i<n;i++){
            int u=read(),v=read();
            insert(u,v);insert(v,u);
        }
        dfs(,-);
    }
}
int D(int x,int y){if(!y)return 0x3f3f3f3f;else return deep[x]+deep[y]-*deep[cyc::lca(x,y)];}
bool cmp(int a,int b){return in[a]<in[b];}
bool check(int x,int y){return in[x]<=in[y]&&ou[y]<=ou[x];}
struct edge{int u,v,from;}e[maxn*];
void insert(int u,int v){tot++;e[tot].u=u;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
void dfs1(int x){
    if(v[x])belong[x]=x;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from){
        dfs1(e[i].v);
        int A=D(x,belong[x]),B=D(x,belong[e[i].v]);
        if(B<A||(B==A&&belong[e[i].v]<belong[x]))belong[x]=belong[e[i].v];
    }
}
void dfs2(int x){
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from){
        int A=D(e[i].v,belong[x]),B=D(e[i].v,belong[e[i].v]);
        if(A<B||(A==B&&belong[x]<belong[e[i].v]))belong[e[i].v]=belong[x];
        dfs2(e[i].v);
    }
}
void solve(int x,int y){
    int z=y;
    for(int i=;i>=;i--)if((<<i)<=deep[z]&&deep[cyc::f[z][i]]>=deep[x]+)z=cyc::f[z][i];
    rem[x]-=size[z];
    if(belong[x]==belong[y]){f[belong[x]]+=size[z]-size[y];return;}//
    int m=y;
    for(int i=;i>=;i--)if((<<i)<=deep[m]){
        if(deep[cyc::f[m][i]]<deep[x])continue;
        int A=D(cyc::f[m][i],belong[x]),B=D(cyc::f[m][i],belong[y]);
        if(B<A||(A==B&&belong[x]>belong[y]))m=cyc::f[m][i];//
    }
    f[belong[x]]+=size[z]-size[m];
    f[belong[y]]+=size[m]-size[y];
}
void work(){
    int last=read();N=last;
    for(int i=;i<=N;i++)a[i]=read(),f[b[i]=a[i]]=,v[a[i]]=;
    sort(a+,a+N+,cmp);
    for(int i=;i<last;i++)a[++N]=cyc::lca(a[i],a[i+]);
    sort(a+,a+N+,cmp);
    N=unique(a+,a+N+)-a-;
    tot=;
    for(int i=;i<=N;i++)first[a[i]]=,belong[a[i]]=,rem[a[i]]=size[a[i]];
    rem[a[]]=n;
    int top=;
    for(int i=;i<=N;i++){
        while(top&&!check(st[top],a[i]))top--;
        if(top)insert(st[top],a[i]);
        st[++top]=a[i];
    }
    dfs1(a[]);dfs2(a[]);
    for(int i=;i<=tot;i++)solve(e[i].u,e[i].v);
    for(int i=;i<=N;i++)f[belong[a[i]]]+=rem[a[i]];
    for(int i=;i<=last;i++)printf("%d ",f[b[i]]),v[b[i]]=;
}
int main(){
    cyc::build();
    int m=read();
    while(m--)work();
    return ;
}

upd：复习一下。

【建虚树】

第一步、所有关键点按DFS序排序，加入LCA后排序去重。

第二步、按顺序用栈维护构造出虚树。

第三步、虚树DP后清零。

【此题的虚树DP】

第一步、处理虚树上点与点。

第二步、处理虚树边上点的子树。

第三步、处理虚树点的 [ 不在虚树上的孩子 ] 子树。（通过减虚树孩子的sz得到）