图 Graph-图的相关算法

2018-03-06 17:42:02

一、最短路问题

问题描述：在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径。

• 这条路径就是两点之间的最短路径 （Shortest Path）
• 第一个顶点为源点 （Source）
• 最后一个顶点为终点 （Destination）

问题分类：

1. 单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径。
   1. （有向）无权图
   2. （有向）有权图
2. 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径。

1）无权图的单源最短路算法

BFS可以解决这类问题。

2）有权图的单源最短路算法

Dijkstra算法可以解决不带负值边的单源最短路问题。

3）多源最短路算法

此算法由Robert W. Floyd（罗伯特·弗洛伊德）于1962年发表在“Communications of the ACM”上。同年Stephen Warshall（史蒂芬·沃舍尔）也独立发表了这个算法。Floyd这个牛人是朵奇葩，他原本在芝加哥大学读的文学，但是因为当时美国经济不太景气，找工作比较困难，无奈之下到西屋电气公司当了一名计算机操作员，在IBM650机房值夜班，并由此开始了他的计算机生涯。

我们来想一想，根据我们以往的经验，如果要让任意两点（例如从顶点a点到顶点b）之间的路程变短，只能引入第三个点（顶点k），并通过这个顶点k中转即a->k->b，才可能缩短原来从顶点a点到顶点b的路程。那么这个中转的顶点k是1~n中的哪个点呢？甚至有时候不只通过一个点，而是经过两个点或者更多点中转会更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。比如上图中从4号城市到3号城市（4->3）的路程e[4][3]原本是12。如果只通过1号城市中转（4->1->3），路程将缩短为11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其实1号城市到3号城市也可以通过2号城市中转，使得1号到3号城市的路程缩短为5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同时经过1号和2号两个城市中转的话，从4号城市到3号城市的路程会进一步缩短为10。通过这个的例子，我们发现每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的路程变短。

Floyd算法就是首先只允许经过0号结点，看看是否会变短，如果变短就加之修改，然后只允许经过0，1号结点，看看是否变短，加之修改，直到中间结点到达为所有可能的结点。

二、最小生成树 (Minimum Spanning Tree)

什么是最小生成树？

最小生成树算法使用贪心的思想，每一步都选权重最小的边。

• Prim算法 — 让一棵小树长大

首先随机选择起始点，然后不断将当前结点往外生长，寻找最短的结点加入。

• Kruskal算法 — 将森林合并成树

三、拓扑排序

拓扑序：如果图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序。

获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序。

AOV（Activity On Vertex）如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）。

举个例子，将计算机学院的课程按照拓扑序进行输出。

一种聪明的算法就是将入度为0的结点放到队列。

关键路径问题：