CS229 笔记03

CS229 笔记03

局部加权线性回归

• Non-Parametric Learning Algorithm （非参数学习方法）
  Number of parameters grows with the size of sample. （参数的数目随着样本的数目增加而增加。）
• Locally Weighted Regression （局部加权线性回归）
  损失函数的定义为： $ J_\Theta=\sum_i{w^{(i)}(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2} $ 。
  其中 $ w^{(i)}={\rm {exp}}[-\frac{1}{2}(x^{(i)}-x)^2] $ . 即对于一个待预测的 \(x\) ，训练集中离 \(x\) 越远的样本，其对于模型的影响就越小。这也就意味着在每作出一个预测之前，都要重新训练一遍模型。

线性模型的概率解释

• Probabilistic Interpretation （概率解释）

  假设真实房价 \(y^{(i)}=\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}+\varepsilon^{(i)}\) ，其中 \(\varepsilon^{(i)}\) 为误差。

  因为误差是由很多其它未知因素引起的，在未知因素比较多，且假设这些未知因素是相互独立的时候，根据中心极限定理，可以认为 \(\varepsilon^{(i)}\) 服从正态分布。

  即 \(\varepsilon^{(i)} \sim {\scr N}(0,\sigma^2)\) ， \({\rm P}(\varepsilon^{(i)})=\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}\exp{\left[-\frac{(\varepsilon^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right]}\) 。

  从而对于给定的 \(\Theta\) 和 \(x^{(i)}\) ，\(y^{(i)} \sim {\scr N}(\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}, \sigma^2)\) ，即 \(P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)=\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}\exp{\left[-\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right]}\) 。

  对于整个样本集 \(X\) ，模型所做出的估计与真实值 \(Y\) 的相似程度（也称作“似然性”）可以看作是模型预测出“正确”的 \(Y\) 的概率，即似然性可表示为 \(L(\Theta)=P(Y|X;\Theta)\) 。

  对于每个样本 \(x^{(i)}\) 及其目标值 \(y^{(i)}\) ，若假设每个目标值都是独立同分布的（IID），所可则直接把 $P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta) $ 连乘起来，即 \(L(\Theta)=P(Y|X;\Theta)=\prod_i{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}\) 。

  而训练模型所需的工作就是最大化预测出“正确”的 \(Y\) 的概率，即最大似然估计（Maximize Likelihood）。

  为了方便，令 \(l(\Theta)=\log{L(\Theta)}\) 。

  \[
  \begin{eqnarray*}
  l(\Theta)&=&\log{L(\Theta)} \\[1em]
  &=&\log{\prod_{i}^{m}{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}} \\[1em]
  &=&\log{\prod_{i}^{m}{\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}\exp{\left[-\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right]}}} \\[1em]
  &=&\sum_{i}^{m}{\log{\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}}-\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2\sigma^2}} \\[1em]
  &=&m\log{\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}}-\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i}^{m}{\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2}} \\[1em]
  \end{eqnarray*}
  \]

  要想最大化 \(l(\Theta)\) ，就要最小化 \(\sum_{i}^{m}{\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2}}\) 。

  而\(\sum_{i}^{m}{\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2}}\) 就是之前提到过的 \(J(\Theta)\) 。

  这就从概率的角度解释了为什么误差要用最小二乘（Minimize Square），而不是最小化 \(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}\) 的绝对值或者三次方、四次方等等。

逻辑回归

• Logistic Regression （逻辑回归）

  虽然叫做“回归”，实际上是用来解决分类问题。

• Logistic Function / Sigmoid Function

  \[
  g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
  \]

• 训练过程推导

  在Logistic Regression中，估计函数变成了 \(h_\Theta(x^{(i)})=g(\Theta^{{\rm T}}x)=\frac{1}{1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x}}\) 。

  由于 \(g(z)\) 的取值范围是 \((0,1)\) ，所以函数值可以直接看作是概率，即：

  \[
  \begin{eqnarray*}
  P(y^{(i)}=1|x^{(i)};\Theta)&=&h_\Theta(x^{(i)}) \\[1em]
  P(y^{(i)}=0|x^{(i)};\Theta)&=&1-h_\Theta(x^{(i)}) \\[1em]
  P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)&=&\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]^{y^{(i)}}\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]^{1-y^{(i)}} \\[1em]
  \end{eqnarray*}
  \]

  根据之前的讨论，令 \(L(\Theta)=P(Y|X;\Theta)=\prod_i^m{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}\) ， \(l(\Theta)=\log{L(\Theta)}\) 。

  展开可得：

  \[
  \begin{eqnarray*}
  l(\Theta)&=&\log{L(\Theta)} \\[1em]
  &=&\log{\prod_i^m{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}} \\[1em]
  &=&\log{\prod_i^m{\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]^{y^{(i)}}\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]^{1-y^{(i)}}}} \\[1em]
  &=&\sum_i^m\log{\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]^{y^{(i)}}\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]^{1-y^{(i)}}} \\[1em]
  &=&\sum_i^m{y^{(i)}}\log{\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]}+({1-y^{(i)}})\log{\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]} \\[1em]
  \end{eqnarray*}
  \]

  \(h_\Theta(x^{(i)})\) 对 \(\Theta\) 求偏导：

  \[
  \begin{eqnarray*}
  \frac{\partial}{\partial \theta_j}{h_\Theta(x^{(i)})}&=&\frac{\partial}{\partial \theta_j}{\frac{1}{1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}}} \\[1em]
  &=&\frac{-1}{\left(1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}\right)^2}\frac{\partial}{\partial \theta_j}{e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}} \\[1em]
  &=&\frac{e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}}{\left(1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}\right)^2}\frac{\partial}{\partial \theta_j}{\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}} \\[1em]
  &=&\frac{e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}}{\left(1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}\right)^2}x^{(i)}_j \\[1em]
  \therefore \frac{\partial}{\partial \Theta}{h_\Theta(x^{(i)})}&=&\frac{e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}}{\left(1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}\right)^2}x^{(i)} \\[1em]
  \end{eqnarray*}
  \]

  \(l(\Theta)\) 对 \(\Theta\) 求偏导：

  \[
  \begin{eqnarray*}
  [\nabla_\Theta l(\Theta)]_j&=&\frac{\partial l(\Theta)}{\partial \theta_j} \\[1em]
  &=&\frac{\partial}{\partial \theta_j}{\sum_i^m{y^{(i)}\log{[h_\Theta(x^{(i)})]}+(1-y^{(i)})\log{[1-h_\Theta(x^{(i)})]}}} \\[1em]
  &=&\sum_i^m{y^{(i)}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\log{[h_\Theta(x^{(i)})]}+(1-y^{(i)})\frac{\partial}{\partial \theta_j}\log{[1-h_\Theta(x^{(i)})]}} \\[1em]
  &=&\sum_i^m{\frac{y^{(i)}}{h_\Theta(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial \theta_j}{h_\Theta(x^{(i)})}+\frac{1-y^{(i)}}{1-h_\Theta(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial \theta_j}{[1-h_\Theta(x^{(i)})}]} \\[1em]
  &=&\sum_i^m{\left(\frac{y^{(i)}}{h_\Theta(x^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-h_\Theta(x^{(i)})}\right)\frac{\partial}{\partial \theta_j}{h_\Theta(x^{(i)})}} \\[1em]
  &=&\sum_i^m{\left(\frac{y^{(i)}}{\frac{1}{1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x}}}-\frac{1-y^{(i)}}{1-\frac{1}{1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x}}}\right)\frac{e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}}{\left(1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}\right)^2}x^{(i)}_j} \\[1em]
  &=&\sum_i^m{\frac{2y^{(i)}-1}{1+e^{\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}}x^{(i)}_j} \\[1em]
  \therefore \nabla_\Theta l(\Theta)&=&\sum_i^m{\frac{2y^{(i)}-1}{1+e^{\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}}}x^{(i)}} \\[1em]
  \end{eqnarray*}
  \]

  训练的目标就是找到一个理想的 \(\Theta\) ，最大化 \(l(\Theta)\) 。

  所以训练过程就是：

  \[
  \Theta :=\Theta+\alpha \nabla_\Theta l(\Theta)
  \]

感知机

• Perception Algorithm（感知机算法）

• Step Function（阶梯函数）

  \[
  g(z)=\begin{cases}1, &{z\geq0}\\[1em]0,&{\text{Otherwise}}\end{cases}
  \]
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