解题：THUWC 2017 在美妙的数学王国中畅游

题面

_“数字和数学规律主宰着这个世界。”_

在 @i207M 帮助下折腾了半天终于搞懂了导数和泰勒展开，引用某学长在考场上的感受：感觉整个人都泰勒展开了

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显然是个奇奇怪怪的东西套上LCT，发现直接维护的话并不能快速链上求和。所以用友好的提示里的泰勒展开，对每个点的函数进行泰勒展开后就变成了维护多项式的和，大概展开十几项精度就够了(我展开了16项)。题目告诉我们了这三个函数在[0,1]都能展开，那就在零点展开呗，这不是最方便的吗=。=

当然因为可能~~并没~~有人和制杖的我一样对导数一无所知~~(初中没学，高中停课了的那种)~~，我还是写的详细一点比较好。

(注意题目中最终带进每个函数的实际是$ax+b$)

先以$\sin$为例，下面我们用$d^k(x)$表示关于$x$的函数的$k$阶导数，用$g(x)$表示$ax+b$，用$h(x)$表示题目实际要我们求的东西，我们把$h(x)$在零点展开之后发现是这样的一个东西

$h(x)=h(0)+\frac{d^1(0)(x-0)}{1!}+\frac{d^2(0)(x-0)^2}{2!}+......$

所以说选零点展开多方便=。=

$h(x)=h(0)+(d^1(0)/1!)x+(d^2(0)/2!)x^2+......$

好，现在把$h$换回去，那$h(0)$实际是$f(g(0))=sin(a*0+b)=sin(b)$，那导数$d(0)$呢？我们经过各种途径可以知道$\sin x$求导是$\cos x$，$\cos x$求导是$-\sin x$，当然还有$ax+b$求导是$a$，现在问题是$h$是两个函数套起来，所以你还需要知道

链式法则：设函数$h(x)=f(g(x))$，那么函数$h$在$x$处的导数$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$，即$f$在$g(x)$处求导的结果乘上$g$在$x$处求导的结果

应用一下：$h'(0)=f'(g(0))g'(0)=\cos(g(0))a=a\cos(b)$

更高阶的导数仍然应用链式法则求，注意符号和$\sin/\cos$，然后就是高一阶多乘一个$a$

于是我们可以得出另外两种函数套着$g(x)=ax+b$时的导数

$f(x)=e^x$求导还是$e^x$，所以$f(x)=e^x->h'(x)=f'(g(0))g'(0)=e^{g(0)}a=a*e^b$，然后再每高一阶就多乘一个$a$

$f(x)=x$求导是$1$，所以$f(x)=x->h'(x)=f'(g(0))g'(0)=a$，更高阶的导数都是零

然后是注意精度，每次修改先预处理一下$\sin,\cos$和$e$，不然精度会爆炸

最重要的是，LCT先不要写错=。=

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const double inf=1e9;
 const int N=,K=;
 double exa[N][K],ply[N][K],fac[N];
 int siz[N],fth[N],son[N][],rev[N],stk[N];
 double t2,t3; int n,m,t1,t4,top; char rd[];
 void Prework()
 {
     fac[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
         fac[i]=fac[i-]*i;
 }
 double Calc(int nde,double var)
 {
     double ret=,npw=;
     for(int i=;i<=;i++)
         ret+=ply[nde][i]*npw,npw*=var;//,printf("%lf ",ply[nde][i]);puts("");
     return ret;
 }
 void Pushup(int nde)
 {
     int lson=son[nde][],rson=son[nde][];
     for(int i=;i<=;i++)
         ply[nde][i]=exa[nde][i]+ply[lson][i]+ply[rson][i];
 }
 void Release(int nde)
 {
     if(rev[nde])
     {
         int &lson=son[nde][],&rson=son[nde][];
         rev[nde]^=,rev[lson]^=,rev[rson]^=;
         swap(lson,rson);
     }
 }
 bool Nottop(int nde)
 {
     int fa=fth[nde];
     return nde==son[fa][]||nde==son[fa][];
 }
 void Rotate(int nde)
 {
     int fa=fth[nde],gr=fth[fa],isl=nde==son[fa][];
     if(Nottop(fa)) son[gr][fa==son[gr][]]=nde;
     fth[nde]=gr,fth[fa]=nde,fth[son[nde][isl]]=fa;
     son[fa][isl^]=son[nde][isl],son[nde][isl]=fa;
     Pushup(fa),Pushup(nde);
 }
 void Splay(int nde)
 {
     stk[top=]=nde;
     for(int i=nde;Nottop(i);i=fth[i])
         stk[++top]=fth[i];
     while(top) Release(stk[top--]);
     while(Nottop(nde))
     {
         int fa=fth[nde],gr=fth[fa];
         if(Nottop(fa))
             Rotate(((son[fa][]==nde)==(son[gr][]==fa))?fa:nde);
         Rotate(nde);
     }
     Pushup(nde);
 }
 void Access(int nde)
 {
     int mem=nde,lst=;
     while(nde)
     {
         Splay(nde),son[nde][]=lst;
         Pushup(nde),lst=nde,nde=fth[nde];
     }
     Splay(mem);
 }
 void Turnroot(int nde)
 {
     Access(nde),rev[nde]^=;
 }
 void Split(int x,int y)
 {
     Turnroot(x),Access(y);
 }
 int Getroot(int nde)
 {
     Access(nde);
     while(son[nde][])
         nde=son[nde][];
     Splay(nde);
     return nde;
 }
 void Link(int x,int y)
 {
     Turnroot(x),fth[x]=y;
 }
 void Cut(int x,int y)
 {
     Split(x,y),fth[x]=son[y][]=,Pushup(y);
 }
 void Setfunc(int x,int t,double a,double b)//h(x)=f(g(x)),g(x)=ax+b
 {
     memset(exa[x],,sizeof exa[x]);
     if(t==)
     {
         double o=,Sin=sin(b),Cos=cos(b);//f(x)=sin(x)
         for(int i=;i<=;i++)//h'(x)=f'(g(x))g'(x)=cos(x),h''(x)=-sin(x)
             exa[x][i]=((i%==)?Cos:Sin)*((i%<=)?:-)*o/fac[i],o*=a;
     }
     if(t==)
     {
         double o=,Exp=exp(b);//f(x)=e^x
         for(int i=;i<=;i++)//h'(x)=f'(g(x))g'(x)=e^b*a
             exa[x][i]=Exp*o/fac[i],o*=a;
     }
     if(t==)//f(x)=x
         exa[x][]=b,exa[x][]=a;//h'(x)=f'(g(x))g'(x)=1*a=a
 }
 void Change(int x,int t,double a,double b)
 {
     Splay(x),Setfunc(x,t,a,b),Pushup(x);
 }
 double Query(int x,int y,double a)
 {
     Turnroot(x);
     if(Getroot(y)==x)
     {
         Splay(y);
         return Calc(y,a);
     }
     else return -inf;
 }
 int main()
 {
     Prework();
     scanf("%d%d%s",&n,&m,rd);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d%lf%lf",&t1,&t2,&t3),Setfunc(i,t1,t2,t3);
     while(m--)
     {
         scanf("%s",rd);
         if(rd[]=='a') scanf("%d%d",&t1,&t4),Link(t1+,t4+);
         else if(rd[]=='d') scanf("%d%d",&t1,&t4),Cut(t1+,t4+);
         else if(rd[]=='m') scanf("%d%d%lf%lf",&t1,&t4,&t2,&t3),Change(t1+,t4,t2,t3);
         else if(rd[]=='t')
         {
             scanf("%d%d%lf",&t1,&t4,&t2);
             double qry=Query(t1+,t4+,t2);
             if(qry<=-inf) puts("unreachable");
             else printf("%.7f\n",qry);
         }
 //        for(int i=1;i<=3;i++,puts(""))
 //            for(int j=0;j<=10;j++) printf("%lf ",ply[i][j]);
     }
     return ;
 }