[学习笔记]状压dp

状压 \(dp\)

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1、[SDOI2009]Bill的挑战

\(f[i][j]\) 表示匹配到字符串的第 \(i\) 位状态为 \(j\) 的方案数

那么方程就很明显了，每次枚举第 \(i\) 位的字母 \(alpha\) 然后 \(O(n)\) 判断就好了

时间复杂度 \(O(26Tlen2^nn)\)

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int p=1e6+3;
int n,k,len,H[20],lg[1<<15],f[51][1<<15];
char s[16][51];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

int main()
{
    register int T=read(),i,j,k,t,now,l,ans;
    H[0]=1;
    for(i=1;i<32768;i++) lg[i]=lg[i>>1]+(i&1);
    for(i=1;i<20;i++) H[i]=H[i-1]<<1;
    while(T--){
        n=read(),k=read();
        for(i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
        if(n<k){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        len=strlen(s[1]+1);
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0][H[n]-1]=1;
        for(i=1;i<=len;i++)
            for(j=0;j<H[n];j++)
                if(f[i-1][j]&&lg[j]>=k){
                    for(t=0;t<26;t++){
                        now=0;
                        for(l=1;l<=n;l++)
                            if((j&H[l-1])&&(s[l][i]=='?'||s[l][i]==t+'a')) now|=H[l-1];
                        f[i][now]=(f[i][now]+f[i-1][j])%p;
                    }
                }
        ans=0;
        for(int i=0;i<H[n];i++)
            if(lg[i]==k) ans=(ans+f[len][i])%p;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

2、[SDOI2009]学校食堂

状压 \(dp\) 好题！

首先 \(a\ or\ b - a\ and\ b = a\ xor\ b\)

\(f[i][j][k]\) 表示到第 \(i\) 个人状态为 \(j\) 最后一个打饭的编号为 \(i+k\) 的方案数

那么就可以转移了

if(j&1) chkmin(f[i+1][j>>1][k+7],f[i][j][k+8]);
else {
	int lim=inf;
	for(int l=0;l<=7;l++){
	    if(!(j&(1<<l))){
	        if(i+l>lim) break;
	        chkmin(lim,i+l+B[i+l]);
	        chkmin(f[i][j|(1<<l)][l+8],f[i][j][k+8]+(i+k?T[i+k]^T[i+l]:0));
	    }
	}
}

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,T[maxn],B[maxn],f[maxn][1<<8][16];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

inline void chkmin(int &a,int b){a=a<b?a:b;}

int main()
{
    int Case=read();
    while(Case--){
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            T[i]=read(),B[i]=read();
        memset(f,inf,sizeof(f));
        f[1][0][7]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<256;j++)
                for(int k=-8;k<=7;k++){
                    if(j&1) chkmin(f[i+1][j>>1][k+7],f[i][j][k+8]);
                    else {
                        int lim=inf;
                        for(int l=0;l<=7;l++){
                            if(!(j&(1<<l))){
                                if(i+l>lim) break;
                                chkmin(lim,i+l+B[i+l]);
                                chkmin(f[i][j|(1<<l)][l+8],f[i][j][k+8]+(i+k?T[i+k]^T[i+l]:0));
                            }
                        }
                    }
                }
        int ans=inf;
        for(int i=0;i<=8;i++)
            chkmin(ans,f[n+1][0][i]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

3、[CQOI2018]解锁屏幕

\(check\) 好麻烦啊

\(Code\ Below\):

#include <bits/stdc++.h>
#define res register int
using namespace std;
const int p=1e8+7;
int n,x[20],y[20],H[20],a[20][20],dp[1<<20][20],vis[1<<20][20],ans;
int head=1,tail=0,q[(1<<20)*20*2+10];

int check(int k,int f,int j){
    if(k==f||k==j) return 0;
    if(x[f]==x[k]||x[f]==x[j]){
        if(x[f]==x[k]&&x[f]==x[j]&&(y[f]<=y[k])==(y[k]<=y[j])) return 1;
        if(y[f]==y[k]&&y[f]==y[j]&&(x[f]<=x[k])==(x[k]<=x[j])) return 1;
        return 0;
    }
    if((x[f]<=x[k])==(x[k]<=x[j])&&(y[f]<=y[k])==(y[k]<=y[j])&&(y[f]-y[k])*(x[f]-x[j])==(y[f]-y[j])*(x[f]-x[k])) return 1;
    return 0;
}

void add(res &x,const res &y){
    x=x+y<p?x+y:x+y-p;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    res i,j,f,st;H[0]=1;
    for(i=1;i<=20;i++) H[i]=H[i-1]<<1;
    for(i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    for(f=0;f<n;f++)
        for(j=0;j<n;j++){
            if(f==j) continue;
            for(i=0;i<n;i++) if(check(i,f,j)) a[f][j]+=1<<i;
        }
    for(i=0;i<n;i++) dp[H[i]][i]=vis[H[i]][i]=1,q[++tail]=H[i],q[++tail]=i;
    while(head<=tail){
        i=q[head++];f=q[head++];
        st=__builtin_popcount(i);
        if(st>=4) add(ans,dp[i][f]);
        for(j=0;j<n;j++){
            if(i&H[j]||!((a[f][j]&i)==a[f][j])) continue;
            add(dp[i|H[j]][j],dp[i][f]);
            if(!vis[i|H[j]][j]) vis[i|H[j]][j]=1,q[++tail]=i|H[j],q[++tail]=j;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}