【学习笔记】虚树复习记（BZOJ2286 SDOI2011 消耗战）

想写战略游戏却想不起来虚树T^T

所以就有了这篇复习记QwQ

——简介！——

我们在处理树上问题的时候，dfs是一个常用手段，但是我们发现，如果一棵树上只有一部分关键点，每次dfs需要访问好多不是关键的点，就很浪费时间。所以虚树就被发明出来啦！看到一个非常好的解释，虚树就是通过简化树的形态来进行dfs从而加快效率。

他处理的问题中很多都是 这样的，其中k表示询问节点个数。

建出的虚树中包含所有的关键点 和一些非关键点连接关键点来维护原树中关键点的相对形态

说起来有一点玄学，所以我们直接来看怎么构造虚树的吧。

前缀芝士

1.DFS序

2.倍增

3.树形DP

——构造！——

首先，我们将询问的关键点按照原树中的DFS序排序。

我们用一个栈来辅助构造虚树。

记住这几句话：压栈不连边，弹栈必连边。栈中一条链，深度是递增。【我好会编口诀啊】

（是栈底到栈顶递增qwq）

接下来我们来讨论一下3种情况。（这里配合画图食用口味更佳！）

[x:当前要加入栈中的元素 y:栈顶的元素 lca:x,y的lca z:栈中栈顶下方的元素]

1. lca 为 y

说明x位于y子树内 直接把x压入栈内 表示x挂到位于y下方的链上。

2. lca 既不是 x 也不是 y

表示x,y分别存在于 lca 的两侧 分为两棵子树

这时候 我们发现对于y子树应该是需要构造完 我们才可以把x压入栈内 不然的话就不是一条链了

这时候我们继续讨论几种情况。

（1）dfn[z]>dfn[lca] 说明y和z之间不会再出现新的节点 直接弹栈连边。

（2）z==lca z就是lca 表示 y和z之间没有新的点 弹栈连边 并且退出循环。

（3）dfn[z]<dfn[lca] 说明lca应该是作为新建节点 并且将来要和x连边[还是位于一条链] 那么将y弹栈连边，退出循环

3. lca 为 x

这种情况不会存在，因为我们按照dfs序排序了，所以x一定不会是y的祖先。

还有一个很重要的地方！

我们建虚树的时候 只是使用了一些关键节点，所以复杂度是低于O(n)的 如果清空数组使用了memset就是O(n)然后就萎啦

所以一个小技巧就是自杀式遍历 或者存下使用的节点 删除即可

——例题——

BZOJ2286

直接建虚树 然后熟悉的树形dp

令f[i]表示 i子树内部的所有点和1断开的最小代价

如果i是关键点 那么f[i]=dis[i] (1-i路径上的最小值)

如果i不是关键点 那么 f[i]=min(dis[i],sum(f[v])) [v是i的儿子]

然后就可以做啦~

附代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 20021225
#define ll long long
#define mxn 2500100
using namespace std;

struct edge{int to,lt;ll v;}e[mxn<<1],p[mxn<<1];
int in[mxn],cnt,cnp,ip[mxn],stk[mxn];
int ff[mxn][20],dfn[mxn],tot;
ll f[mxn],dis[mxn];int n,m,dep[mxn];
void add(int x,int y)
{
	e[++cnt].to=y;e[cnt].lt=in[x];in[x]=cnt;
}
void app(int x,int y,ll v)
{
	p[++cnp].to=y;p[cnp].lt=ip[x];p[cnp].v=v;ip[x]=cnp;
	p[++cnp].to=x;p[cnp].lt=ip[y];p[cnp].v=v;ip[y]=cnp;
}
void dfs(int x)
{
	dfn[x]=++tot;
	for(int i=1;i<20;i++)
		ff[x][i]=ff[ff[x][i-1]][i-1];
	for(int i=ip[x];i;i=p[i].lt)
	{
		int y=p[i].to;if(dfn[y])	continue;
		ff[y][0]=x;dis[y]=min(dis[x],p[i].v);
		dep[y]=dep[x]+1;dfs(y);
	}
}
int LCA(int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y])	swap(x,y);
	int len=dep[x]-dep[y];
	for(int i=19;~i;i--)	if(len&(1<<i))	x=ff[x][i];
	if(x==y)	return x;
	for(int i=19;~i;i--)
		if(ff[x][i]!=ff[y][i])
			x=ff[x][i],y=ff[y][i];
	return ff[x][0];
}
int poi[mxn];bool spc[mxn];
bool cmp(int x,int y){return dfn[x]<dfn[y];}
void insert(int x)
{
	if(!stk[0]){stk[++stk[0]]=x;return;}
	int lca=LCA(stk[stk[0]],x);
	if(lca!=stk[stk[0]])
	while(stk[0]>1)
	{
		int z=stk[stk[0]-1];
		if(dfn[z]>dfn[lca])
			add(z,stk[stk[0]]),stk[0]--;
		else if(z==lca)
		{
			add(z,stk[stk[0]]),stk[0]--;
			break;
		}
		else if(dfn[z]<dfn[lca])
		{
			add(lca,stk[stk[0]]);
			stk[stk[0]]=lca;break;
		}
	}
	if(stk[stk[0]]!=x)	stk[++stk[0]]=x;
}
void build(int q)
{
	sort(poi+1,poi+q+1,cmp);
	cnt=0;stk[stk[0]=1]=1;
	for(int i=1;i<=q;i++)
		//if(poi[i]==1)	continue;
		insert(poi[i]);
	while(stk[0]>1)
		add(stk[stk[0]-1],stk[stk[0]]),stk[0]--;
}
void dp(int x)
{
	f[x]=100000000000ll;ll sum=0;
	for(int &i=in[x];i;i=e[i].lt)
	{
		int y=e[i].to;
		dp(y);sum+=f[y];
	}
	if(spc[x])	f[x]=dis[x];
	else	f[x]=min((ll)dis[x],sum);
	spc[x]=0;
}
int main()
{
	int x,y,q;ll v;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)	scanf("%d%d%lld",&x,&y,&v),app(x,y,v);
	scanf("%d",&m);
	memset(dis,48,sizeof(dis));
	dep[1]=1;dfs(1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&q);
		for(int j=1;j<=q;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			spc[x]=1;poi[j]=x;
		}
		build(q);dp(1);
		printf("%lld\n",f[1]);
	}
	return 0;
}