Java 浮点数的范围和精度

本篇先介绍IEEE754标准中针对浮点数的规范，然后以问答形式补充有关浮点数的知识点。

（一）IEEE754标准

IEEE 754 标准即IEEE浮点数算术标准，由美国电气电子工程师学会（IEEE）计算机学会旗下的微处理器标准委员会发布。

以32位float数据为例，在内存中的存储形式是1bit的符号位(S)，8bit表示指数部分(Exp)，23表示小数部分的尾数(Fraction)。

表一 单精度浮点数在内存中存储形式

1bit符号

8bit指数部分

23bit尾数

符号位——S取0时表示负数，取1时表示负数。

指数部分——使用所谓的偏正值形式表示，而不是补码表示，即指数部分采用一个无符号的正数值存储。也就是说指数部分要表示的值等于实际存储值减去一个固定值（对于单精度float类型，是127）。采用这种方式表示的目的是简化比较，因为，如果采用补码表示的话,全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。因为指数值的大小从0～255（0和255是特殊值），单精度的指数部分范围是-127～+128（对应的，-127和128是特殊值）。

尾数部分——23bit尾数仅能表示小数部分的尾数，小数部分最高有效位由指数部分决定，具体见下表。小数部分最高有效位是1的数被称为正规形式。小数部分最高有效位是0的数被称为非正规形式，其他情况是特殊值。

表二 单精度浮点数表示规则

符号	指数 部分	指数部分-127	尾数部分	小数部分的 最高有效位	形式
1	255	128	非0	没有	NaN
1	255	128	0	没有	负无穷
1	1~254	-126~127	任意	1	正规形式（负数）
1	0	-127	非0	0	非正规形式（负数）
1	0	-127	0	没有	负0
0	0	-127	0	没有	正0
0	0	-127	非0	0	非正规形式（正数）
0	1~254	-126~127	任意	1	正规形式（正数）
0	255	128	0	没有	正无穷
0	255	128	非0	没有	NaN

按照IEEE标准，除了 NaN 以外，浮点数集合中的所有元素都是有序的。如果把它们从小到大按顺序排列好，那顺序将会是：负无穷，正规形式（负数）、非正规形式（负数）、负0、正0、非正规形式（正数）、正规形式（正数）、正无穷。

对于64bit的双精度double类型，在内存中的存储形式是1bit的符号位(S)，11bit表示指数部分(Exp)，52bit表示小数部分的尾数(Fraction)。指数部分的偏正值是1023，其他情况跟单精度类似，不再赘述。

（二）浮点数Q&A

1)浮点数可以表示数据的范围是什么？

不考虑特殊值（无穷大、NaN等），浮点数可以表示的范围是[-Max,Max]。其中Max是浮点数能表示的最大值，具体值参见表三。

表三 浮点数最大值

浮点类型	字节码	16进制表示	10进制表示
单精度	7f7fffff	0x1.fffffep127	3.4028235E38
双精度	7fefffffffffffff	0x1.fffffffffffffp1023	1.7976931348623157E308

2)浮点数的精度怎样衡量？

浮点数指数部分Exp的数值决定了浮点数与相邻浮点数的差值，所以，指数部分越小（单精度最小为-127），即浮点数绝对值越小（也就是浮点数越靠近0），相邻浮点数的差值越小（单精度最小为2^(-127)），浮点数能表示的有效小数位数越多。反之，指数部分越大（单精度最大为127），即浮点数绝对值越大（也就是浮点数越远离0），相邻浮点数的差值越大（单精度最小为2^(127)），浮点数能表示的有效小数位数越少。但是，从科学计算的角度看，不管指数部分的数值是多少，浮点数的有效位数由尾数部分决定，单精度的有效数是7位，双精度的有效数是16位。

表四 浮点数最小正数

浮点类型	字节码	16进制表示	10进制表示
单精度最小正数	00000001	0x0.000002p-126	1.4E-45
双精度最小正数	0000000000000001	0x0.0000000000001p-1022	4.9E-324

3）我们知道，在Java中，存在基本数据类型的自动转换，比如，直接将一个整形字面量赋给一个float变量。 那么，在自动转换后，整形的精度会丢失么？

当浮点集中没有与整形值对应的浮点数时，会将整形值转化成最接近的浮点值，此时，整形值会丢失精度。例如下面的例子，数值为33554431的整形转化成单精度浮点数后，变成3.3554432E7，即33554432。

int intValue = Integer.MAX_VALUE >> 6;// 33554431

float floatFromInt = intValue;

System.out.println(floatFromInt);// 3.3554432E7

System.out.println(intValue);// 33554431

最后附查看某些浮点数字节码、16进制表示、10进制表示的源码及运行结果。

单精度源码及结果。

 package com.wsm.test;

 public class TestFloat {

     /**
      * @param args
      */
     public static void main(String[] args) {

         int intValue = Integer.MAX_VALUE >> 6;//
         float floatFromInt = intValue;
         System.out.println(floatFromInt);// 3.3554432E7
         System.out.println(intValue);//

         System.out.printf("%-12s\t%-20s%-12s%-20s\n", "描述", "十六进制数",
                 "        字节码", "            十进制数");
         print("正        无         穷", Float.POSITIVE_INFINITY);
         print("最        大         值", Float.MAX_VALUE);
         print("最小正规形式正数", Float.MIN_NORMAL);
         print("最大非正规形式值", +0x0.fffffep-127f);
         print("最    小      正    数", Float.MIN_VALUE);
         print("负         无        穷", Float.NEGATIVE_INFINITY);
         print("规     范     的 NaN", Float.NaN);
         print("其     他     的 NaN", Float.intBitsToFloat(Integer
                 .valueOf(0xffc54321)));

     }

     static void print(String describe, float floatNum) {
         System.out.printf("%-12s\t%-20s%-12s%-20s\n", describe, Float
                 .toHexString(floatNum), insertZero(Integer.toHexString(Float
                 .floatToRawIntBits(floatNum)), 8), floatNum);
     }

     static String insertZero(String input, int length) {
         StringBuilder sb = new StringBuilder(input);
         while (sb.length() < length) {
             sb.insert(0, "0");
         }
         return sb.toString();
     }
 }

Float

3.3554432E7
33554431
描述           十六进制数                       字节码             十进制数   
正        无         穷 Infinity            7f800000    Infinity           
最        大         值 0x1.fffffep127      7f7fffff    3.4028235E38       
最小正规形式正数     0x1.0p-126          00800000    1.17549435E-38     
最大非正规形式值     0x0.8p-126          00400000    5.877472E-39       
最    小      正    数 0x0.000002p-126     00000001    1.4E-45            
负         无        穷 -Infinity           ff800000    -Infinity          
规     范     的 NaN NaN                 7fc00000    NaN                
其     他     的 NaN NaN                 ffc54321    NaN

双精度源码及结果。

 package com.wsm.test;

 public class TestDouble {

     /**
      * @param args
      */
     public static void main(String[] args) {

         System.out.printf("%-12s\t%-30s%-24s%-40s\n", "描述", "十六进制数",
                 "                  字节码",
                 "                                   十进制数");
         print("正        无         穷", Double.POSITIVE_INFINITY);
         print("最        大         值", Double.MAX_VALUE);
         print("最小正规形式正数", Double.MIN_NORMAL);
         print("最大非正规形式值", +0x0.fffffffffffffp-1023d);
         print("最    小      正    数", Double.MIN_VALUE);
         print("负         无        穷", Double.NEGATIVE_INFINITY);
         print("规     范     的 NaN", Double.NaN);
         print("其     他     的 NaN", Double.longBitsToDouble(Long
                 .valueOf(0xfff8000000054321L)));

     }

     static void print(String describe, Double DoubleNum) {
         System.out.printf("%-12s\t%-30s%-24s%-40s\n", describe, Double
                 .toHexString(DoubleNum), insertZero(Long.toHexString(Double
                 .doubleToRawLongBits(DoubleNum)), 16), DoubleNum);
     }

     static String insertZero(String input, int length) {
         StringBuilder sb = new StringBuilder(input);
         while (sb.length() < length) {
             sb.insert(0, "0");
         }
         return sb.toString();
     }
 }

Double

描述           十六进制数                                           字节码                                      十进制数
正        无         穷 Infinity                      7ff0000000000000        Infinity                               
最        大         值 0x1.fffffffffffffp1023        7fefffffffffffff        1.7976931348623157E308                 
最小正规形式正数     0x1.0p-1022                   0010000000000000        2.2250738585072014E-308                
最大非正规形式值     0x0.8p-1022                   0008000000000000        1.1125369292536007E-308                
最    小      正    数 0x0.0000000000001p-1022       0000000000000001        4.9E-324                               
负         无        穷 -Infinity                     fff0000000000000        -Infinity                              
规     范     的 NaN NaN                           7ff8000000000000        NaN                                    
其     他     的 NaN NaN                           fff8000000054321        NaN

参考资料：

1、IEEE754百度百科

2、《Java虚拟机规范（Java SE 7）》