BZOJ 2669 Luogu P3160 [CQOI2012]局部极小值 (容斥原理、DP)

题目链接

(bzoj) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2669

(luogu) https://www.luogu.org/problem/P3160

题解

这道题充分暴露了我的菜。。

显然两个局部极小值点不能相邻，所以最多有\(8\)个局部极小值。

然后考虑容斥掉.不能成为局部极小值的限制，那么就变成钦定某些位置一定是局部极小值，其余不限，求方案数。

然后这个可以状压DP，考虑从小到大加入每个数，然后就很好求了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int P = 12345678;
const int dx[8] = {1,0,-1,0,1,1,-1,-1},dy[8] = {0,1,0,-1,1,-1,-1,1};
vector<int> kx,ky;
int bitcnt[(1<<8)+3];
char a[7][11];
char b[7][11];
int num[(1<<8)+3];
int dp[31][(1<<8)+3];
int n,m,cnt,ans;

bool check(int x,int y,int typ)
{
	bool ret = true;
	for(int i=0; i<8; i++)
	{
		int xx = x+dx[i],yy = y+dy[i];
		if(xx>0&&xx<=n&&yy>0&&yy<=m)
		{
			if(typ==0) {if(a[xx][yy]=='X') {return false;}}
			if(typ==1) {if(b[xx][yy]=='X') {return false;}}
		}
	}
	return true;
}

int calc()
{
	kx.clear(); ky.clear();
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=m; j++)
		{
			if(a[i][j]=='X') {kx.push_back(i); ky.push_back(j);}
		}
	}
	for(int i=0; i<(1<<kx.size()); i++)
	{
		for(int j=0; j<kx.size(); j++)
		{
			if(!(i&(1<<j))) {b[kx[j]][ky[j]] = 'X';}
		}
		num[i] = 0;
		for(int j=1; j<=n; j++)
		{
			for(int k=1; k<=m; k++)
			{
				bool ok = check(j,k,1);
				if((ok && a[j][k]!='X')) num[i]++;
			}
		}
		num[i] += bitcnt[i];
		for(int j=0; j<kx.size(); j++) {b[kx[j]][ky[j]] = '.';}
	}
	dp[0][0] = 1;
	for(int i=0; i<n*m; i++)
	{
		for(int j=0; j<(1<<kx.size()); j++)
		{
			if(dp[i][j])
			{
				dp[i+1][j] = (dp[i+1][j]+dp[i][j]*(num[j]-i))%P;
				for(int k=0; k<kx.size(); k++)
				{
					if(!(j&(1<<k)))
					{
						dp[i+1][j|(1<<k)] = (dp[i+1][j|(1<<k)]+dp[i][j])%P;
					}
				}
			}
		}
	}
	int ret = dp[n*m][(1<<kx.size())-1];
	for(int i=0; i<=n*m; i++) for(int j=0; j<(1<<kx.size()); j++) dp[i][j] = 0;
	return ret;
}

void dfs(int x,int y,int dep)
{
	if(x==n+1)
	{
		int tmp = calc();
		if((dep-cnt)&1) {ans = ans-tmp<0 ? ans-tmp+P : ans-tmp;}
		else {ans = ans+tmp>=P ? ans+tmp-P : ans+tmp;}
		return;
	}
	int xx = x,yy = y+1; if(yy>m) {yy = 1; xx++;}
	if(a[x][y]=='X')
	{
		bool f = check(x,y,0);
		if(f) {dfs(xx,yy,dep+1);}
	}
	else
	{
		a[x][y] = 'X';
		bool f = check(x,y,0);
		if(f) {dfs(xx,yy,dep+1);}
		a[x][y] = '.';
		dfs(xx,yy,dep);
	}
}

int main()
{
	for(int i=1; i<(1<<8); i++) bitcnt[i] = bitcnt[i>>1]+(i&1);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=m; j++) b[i][j] = '.';
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%s",a[i]+1);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=m; j++) {if(a[i][j]=='X') cnt++;}
	}
	if(cnt>8) {printf("0"); return 0;}
	dfs(1,1,0);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}