BZOJ1061: [Noi2008]志愿者招募(线性规划)

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Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过2^31-1。

Source

如果不知道这题是线性规划的话肯定很难看出来，不过知道了就好做多了

若$C_i$为第$i$个人的花费，$a_i$为第$i$天需要的人，$x_i$为第$i$个人的数量

那么我们需要满足对于每一天$i$，$\sum_{i = 1}^{M} x_i >= a_i$，同时$\sum C_i x_i$最小

啥？最小？当时我推出式子来就蒙了qwq。然后跑去膜题解

根据对偶原理，问题相当于使得$\sum_{i = 1}^{M} x_i <= C_i$，的情况下$\sum a_i x_i$最大

仔细一想好像挺有道理

关于最后答案是否为整数的问题

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3980

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#define LL long long

using namespace std;

const int MAXN = , INF = 1e9 + ;

const double eps = 1e-;

inline int read() {

    char c = getchar();int x = ,f = ;

    while(c < '' || c > ''){if(c == '-')f = -;c = getchar();}

    while(c >= '' && c <= ''){x = x *  + c - '',c = getchar();}

    return x * f;

}

int N, M;

LL a[][];

void Pivot(int l, int e) {

    double t = a[l][e]; a[l][e] = ;

    for(int i = ; i <= N; i++) a[l][i] /= t;

    for(int i = ; i <= M; i++) {

        if(i != l && abs(a[i][e]) > eps) {

            t = a[i][e]; a[i][e] = ;

            for(int j = ; j <= N; j++)

                a[i][j] -= a[l][j] * t;

        }

    }

}

bool simplex() {

    while() {

        int l = , e = ; double mn = INF;

        for(int i = ; i <= N; i++)

            if(a[][i] > eps)

                {e = i; break;}

        if(!e) break;

        for(int i = ; i <= M; i++)

            if(a[i][e] > eps && a[i][] / a[i][e] < mn)

                mn = a[i][] / a[i][e], l = i;

        Pivot(l, e);

    }

    return ;

}

int main() {

    srand();

    N = read(); M = read();

    for(int i = ; i <= N; i++) a[][i] = read();

    for(int i = ; i <= M; i++) {

        int S = read(), T = read(), C = read();

        for(int j = S; j <= T; j++)

            a[i][j] = ;

        a[i][] = C;

    }

    simplex();

    printf("%lld", -a[][]);

    return ;

}