[luogu 1660]数位平方和

题目描述

定义S(n)表示n的各个数位的k次方的和。定义$H(n)=min{n,S(n),H(S(n))}$。

求$$\sum _{i=A} ^{B} {H(i)} \mod 10000007$$

输入输出格式

输入格式：

一行三个数K、A、B。

【数据规模】

对于20%的数据，满足1≤A、B≤50;

对于100%的数据，满足1≤A、B≤10^6，K≤6.

输出格式：

B 一个数∑H(i) mod 10000007

i=A

输入输出样例

输入样例#1：

2 1 5

输出样例#1：

14

题解：

很暴力的解法，把每一个数都看作一个点，那么我们可以从一个数的每一位来得到它的下一个数，并向下一个数连一条有向边。

这样我们就得到了一个有向有环图，那么题意就变成了从一个点开始，一直向下走，所经过的所有点的最小值（包括环）。

考虑tarjan缩点，统计一下每一个强连通分量（也就是环）上的最小值。

很显然环上是没有出边的，我们将所有边反向，从入度为0的分量开始拓扑，一路上不断更新路径上的最小值，那么这样就统计出来了每一个点一直向下走，所经过的所有点的最小值。

然后把题目要求的点加在一起输出就可以了。（我用的是前缀和）

另外不要怀疑这道题会因为点过多而超时，当k=6时，以1～100000分别为起点，所经过的数的最大值是3188...（反正是个七位数），还是可以承受的。

时空复杂度O（能过）

 //Never forget why you start
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #define mod (10000007)
 using namespace std;
 int n,t[];
 bool vis[];
 int suan(int x){
   int ans=;
   while(x){
     ans+=t[x%];
     x/=;
   }
   return ans;
 }
 int to[];
 void dfs(int r){
   if(vis[r])return;
   vis[r]=;
   int Next=suan(r);
   to[r]=Next;
   dfs(Next);
 }
 int dfn[],low[],sccno[],scc,dfscnt,mmin[];
 int s[],top;
 void tarjan(int r){
   dfn[r]=low[r]=++dfscnt;
   s[++top]=r;
   int y=to[r];
   if(!dfn[y]){
     tarjan(y);
     low[r]=min(low[r],low[y]);
   }
   else if(!sccno[y])low[r]=min(low[r],dfn[y]);
   if(low[r]==dfn[r]){
     scc++;
     int x;
     while(){
       x=s[top--];
       sccno[x]=scc;
       mmin[scc]=min(x,mmin[scc]);
       if(x==r)break;
     }
   }
 }
 struct node{
   int next,to;
 }edge[];
 int size=;
 void putin(int from,int to){
   size++;
   edge[size].to=to;
   edge[size].next=dfn[from];
   dfn[from]=size;
 }
 void bfs(){
   queue<int>mem;
   for(int i=;i<=scc;i++)if(!s[i])mem.push(i);
   while(!mem.empty()){
     int x=mem.front();mem.pop();
     for(int i=dfn[x];i!=-;i=edge[i].next){
       int y=edge[i].to;
       mmin[y]=min(mmin[y],mmin[x]);
       s[y]--;
       if(!s[y])mem.push(y);
     }
   }
 }
 int main(){
   int i,j;
   scanf("%d",&n);
   memset(mmin,/,sizeof(mmin));
   for(i=;i<=;i++)t[i]=pow(i,n);
   for(i=;i<=;i++){
     dfs(i);
   }
   for(i=;i<=;i++)
     if(!dfn[i])tarjan(i);
   memset(dfn,-,sizeof(dfn));
   memset(s,,sizeof(s));
   for(i=;i<=;i++)
     if(sccno[i]!=sccno[to[i]])putin(sccno[to[i]],sccno[i]),s[sccno[i]]++;
   bfs();
   low[]=;
   for(i=;i<=;i++){
     low[i]=mmin[sccno[i]];
     (low[i]+=low[i-])%=mod;
   }
   int l,r;
   scanf("%d%d",&l,&r);
   printf("%d\n",(low[r]-low[l-]+mod)%mod);
   return ;
 }