【HHHOJ】NOIP2018 模拟赛（二十五） 解题报告

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得分： \(100+100+20=220\)（\(T1\)打了两个小时，以至于\(T3\)没时间打了，无奈交暴力）

排名： \(Rank\ 8\)

\(Rating\)：\(+19\)

\(T1\)：【HHHOJ126】求和（点此看题面）

看到这道题，我不由得想到这道题目：【BZOJ1257】[CQOI2007] 余数之和。

于是就想到用除法分块去做。

但是，由于记错了平方和公式（我毕竟还是太弱了... ...），结果打了两个小时... ...

如果我们暂时把\(i≠j\)这个诡异的限制抛开不顾，则不难发现，\((n\%i)\)这一项与\(j\)无关，\((m\%j)\)这一项与\(i\)无关，所以我们可以把原式分成两部分：

\[\sum_{i=1}^n(n\%i)*\sum_{j=1}^m(m\%j)
\]

如果用\(f(x)\)表示\(\sum_{i=1}^x(x\%i)\)，则原式就可以表示为：

\[f(n)·f(m)
\]

关于\(f(n)\)怎么求，我想在【BZOJ1257】[CQOI2007] 余数之和这题的题解中我应该讲得很清楚了吧。

但是，此时求得的答案包括了\(i=j\)的情况。

所以我们要将\(i=j\)的答案从答案中减去。

首先，不难发现，在\(i=j\)时的答案是长这样的（代入原式计算即可）：

\[\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n\%i)(m\%i)
\]

依据对取模运算转化的常见套路，我们可以将其转化成这个样子：

\[\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n-\lfloor\frac ni\rfloor*i)(m-\lfloor\frac mi\rfloor*i)
\]

拆括号得：

\[\sum_{i=1}^{min(n,m)}(nm-mi\lfloor\frac ni\rfloor-ni\lfloor\frac mi\rfloor+i^2\lfloor\frac ni\rfloor\lfloor\frac mi\rfloor)
\]

这个式子显然是可以用除法分块来做的。

于是就解决了呀。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define MOD 19940417
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define Dec(x,y) ((x-=(y))<0&&(x+=MOD))
#define f(x) ((((x)*((x)+1)>>1)%MOD)*((((x)<<1)+1)%MOD)%MOD*6646806%MOD)
#define g(x,y) ((((x)+(y))*((y)-(x)+1)>>1)%MOD)
using namespace std;
LL n,m;
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define pc(ch) (putchar(ch))
		LL Top;char ch,*A,*B,Fin[Fsize],Stack[Fsize];
	public:
		FIO() {A=B=Fin;}
		inline void read(LL &x) {x=0;while(!isdigit(ch=tc()));while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));}
		inline void write(LL x)	{if(!x) return (void)(pc('0'));while(x) Stack[++Top]=x%10+48,x/=10;while(Top) pc(Stack[Top--]);}
}F;
inline LL Operate(LL x)//除法分块，类似于余数求和
{
	register LL l,r,res=x*x%MOD;
	for(l=1;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),Dec(res,g(l,r)*(x/l)%MOD);
	return res;
}
int main()
{
	register LL l,r,lim,ans;
	F.read(n),F.read(m),ans=Operate(n)*Operate(m)%MOD;
	for(l=1,Dec(ans,(lim=min(n,m))*n%MOD*m%MOD);l<=lim;l=r+1)//根据上面求出的式子，再一次除法分块，减去多余的答案
	{
		r=min(n/(n/l),m/(m/l)),
		Dec(ans,(f(r)-f(l-1))%MOD*(n/l)%MOD*(m/l)%MOD),
		Inc(ans,g(l,r)*n%MOD*(m/l)%MOD),
		Inc(ans,g(l,r)*m%MOD*(n/l)%MOD);
	}
	return F.write(ans),0;
}

\(T2\)：【HHHOJ127】排队（点此看题面）

这题没想到竟能在考试时间内做出来。

快速幂写炸调了半个多小时祭。（深深感受到了自己的菜）

首先，这种题目一看到，肯定先敲一个组合数板子。

然后就是乱搞（\(DFS\)遍历\(+\)玄学转移），结果莫名其妙过了样例！

更神奇的是，一交居然\(A\)了！

其实这题也不是很难，就是组合数的一个应用，感觉还是挺好推的，这里就省略了。

具体实现可以见代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 1000
#define MOD 10007
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)
using namespace std;
int n,ee=0,lnk[N+5];
struct edge
{
	int to,nxt;
}e[N+5];
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define pc(ch) (putchar(ch))
		int Top;char ch,*A,*B,Fin[Fsize],Stack[Fsize];
	public:
		FIO() {A=B=Fin;}
		inline void read(int &x) {x=0;while(!isdigit(ch=tc()));while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));}
		inline void write(int x) {if(!x) return (void)(pc('0'));while(x) Stack[++Top]=x%10+48,x/=10;while(Top) pc(Stack[Top--]);}
		inline void write_char(char x) {pc(x);}
}F;
class Class_Math//组合数
{
	private:
		int Fac[N+5],Inv[N+5];
		inline int quick_pow(int x,int y,register int res=1)//快速幂写炸调了半个多小时
		{
			for(;y;x=1LL*x*x%MOD,y>>=1) if(y&1) res=1LL*res*x%MOD;
			return res;
		}
	public:
		Class_Math()//预处理出阶乘和阶乘逆元
		{
			register int i;
			for(Fac[0]=1,i=1;i<=N;++i) Fac[i]=Fac[i-1]*i%MOD;
			for(Inv[N]=quick_pow(Fac[N],MOD-2),i=N-1;i>=0;--i) Inv[i]=Inv[i+1]*(i+1)%MOD;
		}
		inline int C(int x,int y) {return 1LL*Fac[x]*Inv[y]%MOD*Inv[x-y]%MOD;}//求组合数
}Math;
class Class_DfsSolver//DFS遍历
{
	private:
		int ans[N+5],Size[N+5];//ans记录当前子树内的方案数，Size记录子树大小
		inline void dfs(int x)
		{
			register int i;
			for(ans[x]=1,Size[x]=0,i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)//玄学转移
				dfs(e[i].to),Size[x]+=Size[e[i].to],ans[x]=1LL*ans[x]*ans[e[i].to]%MOD*Math.C(Size[x]-1,Size[e[i].to]-1)%MOD;
			++Size[x];
		}
	public:
		inline void Solve() {dfs(1),F.write(ans[1]),F.write_char('\n');}
}DfsSolver;
int main()
{
	register int i,x,y,T;F.read(T);
	while(T--)
	{
		for(F.read(n),i=1,ee=0;i<=n;++i) lnk[i]=0;
		for(i=1;i<=n;++i) for(F.read(x);x;--x) F.read(y),add(i,y);
		DfsSolver.Solve();
	}
	return 0;
}

\(T3\)：【HHHOJ128】城市（点此看题面）

原题： 【51nod1743】雪之国度

由于\(T1\)打了两个多小时，结果虽然这题\(Manchery\)讲评过，但是没时间打了，直接交了暴力。

其实这题实现起来真的要比想象中简单一些，题解可以参考上面的链接。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 100000
#define M 500000
#define LogN 20
#define INF 1000000000
#define add(x,y,z) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y,e[ee].val=z)
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
using namespace std;
int n,m,ee=0,val[N+5],lnk[N+5];
struct edge
{
	int from,to,nxt,val,vis;
	inline friend bool operator < (edge x,edge y) {return x.val<y.val;}
}s[M+5],e[(N<<1)+5];
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,Fsize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
		int Top,FoutSize;char ch,*A,*B,Fin[Fsize],Fout[Fsize],Stack[Fsize];
	public:
		inline void read(int &x) {x=0;while(!isdigit(ch=tc()));while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));}
		inline void write(int x) {if(!x) return (void)(pc('0'));while(x) Stack[++Top]=x%10+48,x/=10;while(Top) pc(Stack[Top--]);}
		inline void write_char(char x) {pc(x);}
		inline void write_string(string x) {for(register int i=0,len=x.length();i<len;++i) pc(x[i]);}
		inline void clear() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class UnionFindSet
{
	public:
		int fa[N+5];
		inline void Clear() {for(register int i=1;i<=N;++i) fa[i]=i;}
		UnionFindSet() {Clear();}
		inline int getfa(int x) {return fa[x]^x?fa[x]=getfa(fa[x]):x;}
		inline void Union(int x,int y) {if((x=getfa(x))^(y=getfa(y))) fa[y]=x;}
}U;
class Class_MulSolver
{
	public:
		int Depth[N+5],fa[N+5][LogN+5],Max[N+5][LogN+5];
	private:
		inline void dfs(int x,int lst)
		{
			for(register int i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)
				if(e[i].to^lst) Depth[e[i].to]=Depth[fa[e[i].to][0]=x]+1,Max[e[i].to][0]=e[i].val,dfs(e[i].to,x);
		}
	public:
		inline void DfsInit() {dfs(1,0);}
		inline void MulInit() {for(register int i,j=1;j<=LogN;++j) for(i=1;i<=n;++i) fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1],Max[i][j]=max(Max[i][j-1],Max[fa[i][j-1]][j-1]);}
		inline int get_max(int x,int y)
		{
			if(Depth[x]<Depth[y]) swap(x,y);
			register int i,res=0;
			for(i=0;Depth[x]^Depth[y];++i) if((Depth[x]^Depth[y])&(1<<i)) res=max(res,Max[x][i]),x=fa[x][i];
			if(!(x^y)) return res;
			for(i=0;fa[x][i]^fa[y][i];++i);
			for(--i;i>=0;--i) if(fa[x][i]^fa[y][i]) res=max(res,max(Max[x][i],Max[y][i])),x=fa[x][i],y=fa[y][i];
			return max(res,max(Max[x][0],Max[y][0]));
		}
}MulSolver;
int main()
{
	register int i,Q,x,y;
	for(F.read(n),F.read(m),F.read(Q),i=1;i<=n;++i) F.read(val[i]);
	for(i=1;i<=m;++i) F.read(s[i].from),F.read(s[i].to),s[i].val=abs(val[s[i].from]-val[s[i].to]);
	for(sort(s+1,s+m+1),i=1;i<=m;++i) if(U.getfa(s[i].from)^U.getfa(s[i].to)) U.Union(s[i].from,s[i].to),s[i].vis=1,add(s[i].from,s[i].to,s[i].val),add(s[i].to,s[i].from,s[i].val);
	for(U.Clear(),MulSolver.DfsInit(),i=1;i<=m;++i)
	{
		if(s[i].vis) continue;
		for(x=U.getfa(s[i].from),y=U.getfa(s[i].to);x^y;x=U.getfa(x))
		{
			if(MulSolver.Depth[x]<MulSolver.Depth[y]) swap(x,y);
			MulSolver.Max[x][0]=s[i].val,U.fa[x]=MulSolver.fa[x][0];
		}
	}
	for(MulSolver.MulInit();Q;--Q) F.read(x),F.read(y),(U.getfa(x)^U.getfa(y)?F.write_string("infinitely\n"):(F.write(MulSolver.get_max(x,y)),F.write_char('\n')));
	return F.clear(),0;
}