L - Non-Prime Factors (质数筛选+因子分解)
In many programming competitions, we are asked to find (or count the number of) Prime Factors of an integer i. This is boring. This time, let’s count the number of Non-Prime Factors of an integer i, denoted as NPF(i).
For example, integer 100 has the following nine factors: {1,2,4,5,10,20,25,50,100}. The two which are underlined are prime factors of 100 and the rest are non-prime factors. Therefore, NPF(100) = 7.
Input
The first line contains an integer Q (1≤Q≤3⋅10^6) denoting the number of queries. Each of the next Q lines contains one integer i (2≤i≤2⋅10^6).
Output
For each query i, print the value of NPF(i).
Warning
The I/O files are large. Please use fast I/O methods.
Sample Input 1 | Sample Output 1 |
---|---|
4 |
7 |
题目大意:第一行给一个Q,代表Q次查询,接下来Q行,每行一个整数i,求NPF(i)
拿样例100来说,100的因子有(1,2,4,5,10,20,25,50,100)共9个,其中2和5是质数(一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除),应去掉,剩下7个。
所以NPF(100)= 7
拿样例13来说,13的因子有(1,13)共2个,其中13是质数,去掉后,剩下1个。
所以NPF(13)= 1
解题思路:1.先预处理出1-2*10^6的质数。可以用eratosthenes筛法,时间复杂度O(NloglogN)(某位网友说的)
2.预处理答案,先看代码:
for(int i = ; i <= ; ++i){
int rt = /i;
for(int j = i; j <= rt; ++j){
if(vis[i]){//非质数
++ans[i*j];
}
if(vis[j] && i!=j){
++ans[i*j];
}
}
}
第一个for循环,表示1到2*10^6的数。
第二个for循环,对于当前的数i,对 i 到 i*rt 进行处理
举个栗子,对于100来说,ans【100】初始化是0
第一个循环到1时,
在第二个循环中:判断1是非质数,第一个if中必然会有1*100=100,即ans【100】++;(100<rt,必然出现)
第二个if中会出现j=100,100是非质数,又100*1=100,即ans【100】++;
tip:当i=100时,j 从100开始累加而且 j 不会回溯,所以100=1*100这一种分解方法会在i=1的时候处理出来
即ans【100】+=2;
第一个循环到2时:
在第二个循环中:第一个if 判断2是质数,跳过(相当于把2这个因子剔除了,即没有加入答案中)
第二个if j=50时,50是非质数,又50*2=100,所以ans【100】++;
第一个循环到4时:
在第二个循环中:第一个if 判断4是非质数,4*25=100,ans【100】++;
第二个if j=25时,25是非质数,25*4=100,所以ans【100】++;
第一个循环到5时:
在第二个循环中:第一个if 判断5是质数,跳过,
第二个if j=20时,20是非质数,20*5=100,所以ans【100】++;
第一个循环到10时:
在第二个循环中:第一个if 判断10是非质数,10*10=100,ans【100】++;
第二个if j=10时,10是非质数,但是i=j,跳过(相同因子处理一次即可,在第一个if处理了)
第一个循环到20时:20*5=100,但是5不会出现,因为j是从20开始不断累加,ans【100】已经处理结束了,从上面分析可以看出ans【100】=7;
类似的,每个答案都可以在这2个循环中处理出来。
时间上:当i=1来说,rt=2*10^6,j会从1加到2*10^6
当i=2,rt=10^6, j会从2加到10^6;
......
当i=10,rt=2*10^5,j会从10加到2*10^5(此时数量级已经降了一级)
...
当i=100,rt=2*10^4,j会从1加到2*10^4
....
当i=1000,rt=2*10^3,j会从1000加到2000(共1000次)
.....
当i=sqrt(2*10^6) rt=i,第二层循环直接跳过,后面一样,都是1次
把它们加起来,大概也就10^7左右(目测估计法算的)
预处理10^6左右,Q个问题3*10^6,加起来数量级也在10^7
某位大佬说10^7的数量级一般都能在1s跑完,要看测评机
一开始我是对每次枚举每个数的因数(1-sqrt(n)),然后想办法优化,结果都是超时....((╯‵□′)╯︵┻━┻)
启示:优化的时候想想办法让回溯的次数少一点。
AC代码:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;
bool vis[];
int ans[];
void init()
{
//开始筛,vis=1表示该数不是质数
vis[]=;
int m=sqrt(+0.5);
for(int i=;i<=m;++i)
if(!vis[i]) for(int j=i*i;j<=;j+=i) vis[j]=;
//筛选结束
for(int i = ; i <= ; ++i){
int rt = /i;
for(int j = i; j <= rt; ++j){
if(vis[i]){//非质数
++ans[i*j];
}
if(vis[j] && i!=j){
++ans[i*j];
}
}
}
}
int main()
{
init();
int Q;
scanf("%d",&Q);
while(Q--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",ans[n]);
}
return ;
}
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