CF1139D Steps to One

题目链接：洛谷

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这个公式可真是个好东西。（哪位大佬知道它叫什么名字的？）

如果$X$恒$\geq 0$，那么

$$E[X]=\int_0^{+\infty}P(X>t)dt$$

呸，我什么都没写。

如果$X\in N$，那么

$$E[X]=\sum_{i=0}^{+\infty}P(X>i)$$

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根据上面的公式，我们首先看看如何计算$P(X>i)$

这个表示前$i$个数的$gcd$不为1，我们反面考虑，$gcd$为1的概率可以通过莫比乌斯反演求出，所以

$$P(X>i)=1-\sum_{d=1}^m\mu(d)(\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{m})^i$$

$$=-\sum_{d=2}^m\mu(d)(\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{m})^i$$

带入上面的公式。

$$E[X]=\sum_{i=1}^{+\infty}P(x>i)+1$$

$$=1-\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{d=2}^m\mu(d)(\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{m})^i$$

$$=1-\sum_{d=2}^{m}\mu(d)\sum_{i=1}^{+\infty}(\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{m})^i$$

$$=1-\sum_{d=2}^m\mu(d)\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{m-\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}$$

预处理$\mu$和$inv$之后，时间复杂度$O(m)$

 #include<cstdio>
 #define Rint register int
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = , mod = 1e9 + ;
 inline int add(int a, int b){int res = a + b; if(res >= mod) res -= mod; return res;}
 inline int dec(int a, int b){int res = a - b; if(res < ) res += mod; return res;}
 int n, mu[N], pri[N], tot, inv[N], ans, tmp;
 bool notp[N];
 int main(){
     scanf("%d", &n);
     inv[] = ;
     for(Rint i = ;i <= n;i ++) inv[i] = (LL) (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
     notp[] = notp[] = true;
     mu[] = ;
     for(Rint i = ;i <= n;i ++){
         if(!notp[i]){mu[i] = mod - ; pri[++ tot] = i;}
         for(Rint j = ;j <= tot && i * pri[j] <= n;j ++){
             notp[i * pri[j]] = true;
             if(i % pri[j]) mu[i * pri[j]] = mod - mu[i];
             else break;
         }
     }
     for(Rint i = ;i <= n;i ++){
         tmp = n / i;
         ans = add(ans, (LL) mu[i] * tmp % mod * inv[n - tmp] % mod);
     }
     printf("%d", dec(, ans));
 }

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