[AtCoderContest015D]A or...or B Problem

试题描述

Nukes has an integer that can be represented as the bitwise OR of one or more integers between $A$ and $B$ (inclusive). How many possible candidates of the value of Nukes's integer there are?

求 $A$ 和 $B$ 之间选若干个数按位或起来有多少种可能的值。

输入

The input is given from Standard Input in the following format:

A

B

输出

Print the number of possible candidates of the value of Nukes's integer.

输入示例1

7

9

输出示例1

输入示例2

65

98

输出示例2

输入示例3

271828182845904523

314159265358979323

输出示例3

68833183630578410

数据规模及约定

$1 \le A \le B < 2^{60}$

$A$ and $B$ are integers.

题解

题目地址

首先，$[A, B]$ 范围内的数肯定是能表示出来的。然后我们考虑一下它能表示出的最小的数和最大的数。

最小的数肯定是 $A$。然后我们考虑将 $A$ 和 $B$ 分解成二进制的形式，设它们前 $k$ 位的二进制都相同，那么第 $k+1$ 位上 $B$ 的肯定是 $1$，$A$ 的肯定是 $0$，那么最大值就很好考虑了。我们现在用 $(XXX...)_2$ 表示前 $k$ 位相同的二进制，那么 $[A, B]$ 区间可以被拆成 $[A, (XXX...011...)_2]$ 和 $[(XXX...100...)_2, B]$，下面的数字应该会直观一些：

XXX...0****** = A

XXX...0111111 = C

XXX...1000000 = D

XXX...1001--- = B

上面的例子就假设后面只有 $7$ 位，其中 * 表示 $A$ 的后几位，- 表示 $B$ 的后几位。

那么显然我们可以用 $C\texttt{ }or\texttt{ }D$ 得到最大值 $XXX...1111111$。

除此之外，区间 $[A, C]$ 中每个数都可以和 $D$ 进行按位或运算得到下面这个范围的所有数：

XXX...1****** = E

XXX...1111111 = F

注意到我们用 $[D, B]$ 内部的所有数按位或起来可以得到这个范围的所有数：

XXX...1000000 = D

XXX...1001111 = G

然后我们发现除此之外，再无其他可以搞出来的数了。考虑只用 $[A, G]$ 中的数，组出来的是 $[A, G]$ 或 $[E, F]$ 的数；只用 $[E, F]$ 的数，只能组出来 $[E, F]$ 中的数；两个区间都用只能组出来 $[E, F]$ 中的数，因为数是越或越大的。

所以最后答案就是 $[A, G] \bigcup [E, F]$ 中的所有数了。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define LL long long

LL read() {

	LL x = 0, f = 1; char c = getchar();

	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }

	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }

	return x * f;

}

int main() {

	LL l = read(), orgl = l, r = read(), orgr = r, tr = r, ans;

	for(int i = 59; i >= 0; i--)

		if((l ^ r) >> i & 1) {

			l |= 1ll << i;

			int tmp = i;

			for(tmp--; tmp >= 0; tmp--) tr |= 1ll << tmp;

			for(i--; i >= 0 && !(r >> i & 1); i--) ;

			for(i; i >= 0; i--) r |= 1ll << i;

			break;

		}

	if(r >= l) return printf("%lld\n", tr - orgl + 1), 0;

	ans = r - orgl + 1 + tr - l + 1;

	printf("%lld\n", ans);

	return 0;

}