HDU5772 String problem（最大权闭合子图）

题目。。说了很多东西

官方题解是这么说的：

首先将点分为3类

第一类：Pij 表示第i个点和第j个点组合的点，那么Pij的权值等于w[i][j]+w[j][i]（表示得分）

第二类：原串中的n个点每个点拆出一个点，第i个点权值为 –a[s[i]] （表示要花费）

第三类：对于10种字符拆出10个点，每个点的权值为  -(b[x]-a[x])

那么我们可以得到一个关系图 ，对于第一类中的点Pij，如果想要选择Pij，你就必须要选中第二类中的点i和j，对于第二类中的点如果你想选中第i个点，其对应的字符s[i]，那么就必须选中第三类中s[i] 对应的点，因为每个种类的点第一次选中时花费是b[s[i]]，而第二类中花费都是a[s[i]],一定要补上b[s[i]]-a[s[i]]，而且只需要补上一次。

得到上面的关系图后然后就是普通的最大权闭合子图问题,直接求解即可。

仔细思考这个解法的正确性，会发现有个巧妙之处。

Pij表示组合，但是如果选择(1,2)和(2,3)这个组合，也必须选则(1,3)这个组合。因为原问题是将获得的子序列中累加所有字符对产生的收益，选择(1,2)和(2,3)，就说明序列是1,2,3，那么(1,3)的收益也要统计进去。

而在这个最大权闭合子图的模型里是能保证这种情况下(1,3)也会被选择的！因为(1,2)和(2,3)选择了那么就说明已经选择了对应的第二类和第三类有负收益的点，而这些点包含(1,3)被选前提所需的点！而(1,3)是正收益的，显然一定会选。

因此，这个解法就巧妙地正确了。

另外，最大权闭合子图构图的原理可以很直观地从最小割上去理解。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define INF (1<<30)
 #define MAXN 5120
 #define MAXM 1002120

 struct Edge{
     int v,cap,next;
 }edge[MAXM];
 int vs,vt,NE,NV;
 int head[MAXN];

 void addEdge(int u,int v,int cap){
     edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap;
     edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
     edge[NE].v=u; edge[NE].cap=;
     edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
 }

 int level[MAXN];
 int gap[MAXN];
 void bfs(){
     memset(level,-,sizeof(level));
     memset(gap,,sizeof(gap));
     level[vt]=;
     gap[level[vt]]++;
     queue<int> que;
     que.push(vt);
     while(!que.empty()){
         int u=que.front(); que.pop();
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(level[v]!=-) continue;
             level[v]=level[u]+;
             gap[level[v]]++;
             que.push(v);
         }
     }
 }

 int pre[MAXN];
 int cur[MAXN];
 int ISAP(){
     bfs();
     memset(pre,-,sizeof(pre));
     memcpy(cur,head,sizeof(head));
     int u=pre[vs]=vs,flow=,aug=INF;
     gap[]=NV;
     while(level[vs]<NV){
         bool flag=false;
         for(int &i=cur[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap && level[u]==level[v]+){
                 flag=true;
                 pre[v]=u;
                 u=v;
                 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
                 aug=min(aug,edge[i].cap);
                 if(v==vt){
                     flow+=aug;
                     for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
                         edge[cur[u]].cap-=aug;
                         edge[cur[u]^].cap+=aug;
                     }
                     //aug=-1;
                     aug=INF;
                 }
                 break;
             }
         }
         if(flag) continue;
         int minlevel=NV;
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap && level[v]<minlevel){
                 minlevel=level[v];
                 cur[u]=i;
             }
         }
         if(--gap[level[u]]==) break;
         level[u]=minlevel+;
         gap[level[u]]++;
         u=pre[u];
     }
     return flow;
 }

 char str[];
 int ax[],bx[],w[][];
 int main(){
     int t,n;

     scanf("%d",&t);
     for(int cse=; cse<=t; ++cse){

         scanf("%d",&n);
         for(int i=; i<n; ++i){
             scanf(" %c",str+i);
         }

         for(int i=; i<; ++i){
             scanf("%d%d",ax+i,bx+i);
         }
         for(int i=; i<n; ++i){
             for(int j=; j<n; ++j){
                 scanf("%d",&w[i][j]);
             }
         }

         vs=(n-)*n/+n+; vt=vs+; NV=vt+; NE=;
         memset(head,-,sizeof(head));

         int cnt=,tot=;
         for(int i=; i<n; ++i){
             for(int j=i+; j<n; ++j){
                 tot+=w[i][j]+w[j][i];
                 addEdge(vs,cnt,w[i][j]+w[j][i]);
                 addEdge(cnt,i+(n-)*n/,INF);
                 addEdge(cnt,j+(n-)*n/,INF);
                 ++cnt;
             }
         }
         for(int i=; i<n; ++i){
             addEdge(i+(n-)*n/,vt,ax[str[i]-'']);
             addEdge(i+(n-)*n/,str[i]-''+(n-)*n/+n,INF);
         }
         for(int i=; i<; ++i){
             addEdge(i+(n-)*n/+n,vt,bx[i]-ax[i]);
         }

         printf("Case #%d: %d\n",cse,tot-ISAP());
     }
     return ;
 }