1778D Flexible String Revisit

1778D Flexible String Revisit

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• 1778D Flexible String Revisit
  • 题目大意：
  • 做法：
  • dp
    • 注意
  • code

题目大意：

给你两个长度均为\(n\)二进制数列：\(S,T\) 每次可以把\(S\)中的一位取反，问你\(S \to T\)的期望方案数。

做法：

dp

我们考虑\(dp_i\)表示\(i\)个不一样的位置\(\to i - 1\)个不一样的位置的期望方案数

每次有\(\dfrac{i}{n}\)的概率翻转一个未匹配字符，\(\dfrac{n - i}{n}\)的概率翻转一个已匹配字符。翻转到已匹配字符需要 \(f_{i + 1}\)期望次数才能回到当前状态，然后又需要\(f_i\)期望次数才能翻转一个未匹配字符。于是有方程：

\(f_i = 1 + \dfrac{n - i}{n} * (f_{i + 1} + f_i)\)

化简一下：

\(f_i = \dfrac{n + (n - i) * f_{i + 1}}{i}\)

注意

当所有字符未匹配时随意翻一个都是未匹配字符，所以\(f_n = 1\)

设初始状态有\(k\)个字符需要匹配，那么\(ans = \sum_{i = 1}^{x}\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod = 998244353;
const int N = 1e6 + 5;
int n;
char s[N] , t[N];
long long fac[N + 5] , inv[N + 5] , ans , f[N] , p;
long long ksm (long long x , long long y) {
    if(!y)
        return 1;
    long long z = ksm (x , y / 2);
    z = z * z % mod;
    if (y & 1)
        z = z * x % mod;
    return z;
}
void pre () {
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1 ; i <= N ; i ++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    }
    inv[N] = ksm(fac[N] , mod - 2);
    for (int i = N - 1 ; i >= 0 ; i --) {
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
}
int main () {
    int T , dif;
    pre ();
    scanf ("%d" , &T);
    while(T --) {
        scanf ("%d" , &n);
        scanf("%s%s",s+1,t+1);
        dif = 0;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {
            if (s[i] != t[i]) {
                dif ++;
            }
        }
        inv[n] = ksm(n , mod - 2);
        f[n] = 1;
        for (int i = n - 1 ; i >= 1 ; i--) {
            f[i] = (n + (n - i) * f[i + 1] % mod) * ksm (i , mod - 2) % mod;
        }
        ans = 0;
        for (int i = 1 ; i <= dif ; i++) {
            ans = (ans + f[i]) % mod;
        }
        printf("%lld\n" , ans);
    }
    return 0;
}