P7914 [CSP-S 2021] 括号序列

简要题意

给定 \(k\)，定义 “超级括号序列”（简称括号序列，下同) 字符串为：

• 仅由 ( ) * 三种字符组成。
• 下面令 \(S\) 为不超过 \(k\) 个 \(\ast\) 字符拼接而成的字符串（\(S\) 可以为空字符串）。
• \(\text{(S)}\) 是括号序列。
• 如果 \(A\) 是括号序列，\(\text{(AS)},\text{(SA)}\) 都是括号序列。
• 如果 \(A,B\) 是括号序列，则 \(\text{ASB}\) 是括号序列。
• 特别的，空字符串不是括号序列。

例如，若 \(k = 3\)，则字符串 \(\text{((**()*(*))*)(***)}\) 是括号序列，但字符串 \(\text{*()}\)、\(\text{(*()*)}\)、\(\text{((**))*)}\)、\(\text{(****(*))}\) 均不是。

给你一个长度为 \(n\) 的括号序列 \(s\)，有的字符已经确定，有的字符尚未确定（用 \(\text{?}\) 替代）。求该字符串将所有尚未确定的字符一一确定的方法，使得得到的字符串是一个括号序列？对 \(10^{9}+7\) 取模。

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le k \le n \le 500\)。

思路

非常神仙的区间 DP 题。

状态设计

先设状态：

• \(f[l][r][0]\) 为 \([l,r]\) 为 \(S\) 型字符串的个数。如 ********。
• \(f[l][r][1]\) 为 \([l,r]\) 为被匹配的括号包裹的字符串个数。如 (*(*(*))*)。
• \(f[l][r][2]\) 为 \([l,r]\) 为以括号序列开头，\(\ast\) 结尾的字符串个数。如 (*(*)*)***(*)*。
• \(f[l][r][3]\) 为 \([l,r]\) 为以括号序列开头与结尾的字符串个数，包含 \(f[l][r][2]\)。
• \(f[l][r][4]\) 为 \([l,r]\) 为以括号序列结尾，\(\ast\) 开头的字符串个数，如 ****(*(***))。
• \(f[l][r][5]\) 为 \([l,r]\) 为以 \(\ast\) 开头或结尾的个数，包含 \(f[l][r][0]\)。

状态转移

\[f[l][r][0]=\left\{
\begin{aligned}
& f[l][r-1][0] & \operatorname{ast}(r)\\
& 0 & \text{otherwise}
\end{aligned}
\right.
\]

解释：\(\operatorname{ast}(r)\) 指 \(s_r\) 可能为 \(\ast\)。如果不是 \(\ast\) 自然没有了。

\[f[l][r][1]=\left\{
\begin{aligned}
& (f[l+1][r-1][0]+f[l+1][r-1][2]+f[l+1][r-1][3]+f[l+1][r-1][4])& \operatorname{match(l,r)} \\
& 0 & \text{otherwise}
\end{aligned}
\right.
\]

解释：\(\operatorname{match}(l,r)\) 为 \(s_l,s_r\) 可能括号匹配。加括号的时候，除了两边都是 \(\ast\) 且中间有括号序列外，其他都可以。

\[\begin{aligned}
&f[l][r][2]=\sum_{i=l}^{r-1}f[l][i][3]\cdot f[i+1][r][0] \\
&f[l][r][3]=(\sum_{i=l}^{r}(f[i+1][r]\cdot (f[l][i][2]+f[l][i][3]))+f[l][r][1]) \\
&f[l][r][4]=\sum_{i=l}^{r}f[i+1][r][1]\cdot (f[l][i][4]+f[l][i][5]) \\
&f[l][r][5]=(\sum_{i=l}^{r}f[l][i][4]\cdot f[i+1][r][0])+f[l][r][0]
\end{aligned}
\]

• \(f[l][r][2]\) 中是括号序列开头（3）接 \(\ast\)（0）
• \(f[l][r][3]\) 可以是 2,3 开头，必须是 0 结尾
• \(f[l][r][4]\) 可以是4,5 开头，必须是 1 结尾
• \(f[l][r][5]\) 可以是4 开头，0 结尾。

最后答案就是 \(f[1][n][3]\)。

时间复杂度 \(O(n^3)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int f[505][505][10];
char s[505];
int n,k;
const int MOD = 1e9+7;

inline bool is_star(int pos){
	return (s[pos]=='*'||s[pos]=='?');
}
inline bool is_left_bracket(int pos){
	return (s[pos]=='('||s[pos]=='?');
}
inline bool is_right_bracket(int pos){
	return (s[pos]==')'||s[pos]=='?');
}
inline bool is_brackets_matched(int left,int right){
	return is_left_bracket(left)&&is_right_bracket(right);
}
int m(int x){return (x%MOD+MOD)%MOD;}
void M(int &x){x=m(x);}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>k;
	cin>>(s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][i-1][0]=1;
	}
	for(int length=1;length<=n;length++){
		for(int l=1,r=length;l<=n&&r<=n;l++,r++){
			// 处理情况 0
			if(length<=k && f[l][r-1][0] && is_star(r))f[l][r][0]=1;
			else f[l][r][0]=0;
			// 处理情况 1
			if(length>1 && is_brackets_matched(l,r)){
				f[l][r][1]=m(f[l+1][r-1][0]+f[l+1][r-1][2]+f[l+1][r-1][3]+f[l+1][r-1][4]);
			}
			// 处理情况 2
			if(length>1){
				for(int i=l;i<r;i++){
					f[l][r][2] += m(f[l][i][3]*f[i+1][r][0]);
					M(f[l][r][2]);
				}
			}
			// 处理情况 3
			if(length>1){
				for(int i=l;i<r;i++){
					f[l][r][3] += m(m(f[l][i][2]+f[l][i][3])*f[i+1][r][1]);
					M(f[l][r][3]);
				}
			}
			f[l][r][3] += f[l][r][1];M(f[l][r][3]);
			// 处理情况 4
			if(length>1){
				for(int i=l;i<r;i++){
					f[l][r][4] += m(m(f[l][i][4]+f[l][i][5])*f[i+1][r][1]);
					M(f[l][r][4]);
				}
			}
			// 处理情况 5
			if(length>1){
				for(int i=l;i<r;i++){
					f[l][r][5] += m(f[l][i][4]*f[i+1][r][0]);
					M(f[l][r][5]);
				}
			}
			f[l][r][5]+=f[l][r][0];M(f[l][r][5]);
		}
	}
	cout<<m(f[1][n][3]);
	return 0;
}