【ACwing 100】InDec序列——差分

（题面来自AcWing）

给定一个长度为 n 的数列 a1,a2,…,an，每次可以选择一个区间 [l,r]，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。

求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种。

输入格式

第一行输入正整数n。

接下来n行，每行输入一个整数，第i+1行的整数代表ai。

输出格式

第一行输出最少操作次数。

第二行输出最终能得到多少种结果。

数据范围

0<n≤105,
0≤ai<2147483648（因为不开long long再次见到了祖宗）

　　

　　看到题面之后的第一想法是差分之后暴搜方案，每次从（1～n + 1)选不同的两个数+1/-1，目标状态是d_2~d_n全部为0。然而数据范围显然不能接受。考虑序列操作的本质：我们要将差分序列d中除第一项外全部变为0，显然最优的方案是在d_2~d_n中优先选择一个负数、一个正数，分别+1、-1；设p、q分别为d中正、负项之和的绝对值，那么如上的第一种操作会把p、q中较小的一方降为0，这个过程最多执行min(p, q)次。之后正/负项中有一方会有剩余，我们可以选择把d_1与剩余项一同操作（相当于把原序列的某个前缀全部+1/-1），也可以选择d_(n+1)与剩余项一同操作（相当于操作后缀），最终都可以实现d_2~d_n全部为0。这一步操作最多执行|p - q|次。那么总的操作次数ans1满足：

　　ans1 = min(p, q) + |p - q| = max(p, q)

　　第二问要求统计在满足最小步数的情况下，可能产生的序列种类。由于最后序列每一项都相同，而d[1] = a[1]，我们只要考虑最后d[1]有多少种即可。显然，上述最短操作过程不分先后，并且第一种操作不会对d[1]产生影响。考虑执行第二种操作后d[1]可能的取值：d[1]最多被增加/减少|p - q|次，最少被操作0次，并且d[1]可以被操作[0, |p - q|]中的任意多次。因此d[1]的取值有|p - q| + 1种，即ans2 = |p - q| + 1。

代码：

1. #include <cstdio>
2. #include <iostream>
3. #include <cmath>
4. #define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i)
5. #define per(i, b, a) for(int i = b; i >= a; --i)
6. #define maxn 100010
7. using namespace std;
8. long long d[maxn], a[maxn];
9. int main() {
10. int n;
11. ios::sync_with_stdio(0);
12. cin >> n;
13. long long p = 0, q = 0;
14. rep(i, 1, n) {
15. cin >> a[i];
16. d[i] = a[i] - a[i - 1];
17. if (i - 1)
18. d[i] >= 0 ? p += d[i] : q += -d[i];
19. }
20. cout << max(p, q) << endl << abs(p - q) + 1;
21. return 0;
22. }